Soldados capicúas

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Una compañía de $ n $ soldados es tal que:

  • $ n $ es un número capicúa (se lee igual al derecho y al revés, como 15651, 9436349).
  • Si los soldados se forman:

--de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila;
--de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila;
--de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.

a) Hallar el menor $n$ que cumple las condiciones.

b)Demostrar que hay una infinidad de valores $ n $ que las satisfacen.




Imagen de jmd

 Si tienes la teoría y

 Si tienes la teoría y decides usar el teorema chino del residuo la solución puede complicarse. Porque la solución es más fácil que el uso de la técnica del teorema chino. Y, sin embargo, la teoría no estorba. Es sólo que más allá de la teoría están las decisiones sobre cuándo conviene usarla y cómo. 

El problema es interesante porque ilustra el método de "sacarle toda la información a los datos". Véase:
 
1. Dato: de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila. Inferencia (trivial pero posiblemente no para el novicio): n es múltiplo de 5.
2. Dato: capicúa y múltiplo de 5. Inferencia: termina en 5 (si en 0 entonces iniciaría con 0)
3. Dato: de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila; de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila. Inferencia: n+1 es múltiplo de 12.
4. Dato: múltiplo de 12. Inferencia: las cifras de n+1 suman un múltiplo de 3 y las dos últimas cifras de n+1 forman un múltiplo de 4.
 
Con esta información, el inciso a) se reduce a verificar las condiciones en los números de la lista 55,505,515, etc. Para el inciso b) hay que saber que para formar un número infinito de capicúas que cumplan, lo más fácil es insertar cifras al 515 de manera que mantengan lo capicúa y la divisibilidad entre 12 al sumarle 1. Y tarde o temprano llegará la idea de que el 3 antes y después del 1, el 33 antes y después del 1, etc. mantienen esas condiciones. Fácil ¿no es cierto? Ciertamente no para el novicio. Ciertamente, sí para el experto.
 
Los saluda
jmd
 
PD: muy buen problema para un entrenamiento (las inferencias se pueden plantear como subproblemas...) 
Imagen de Paola Ramírez

Mi fuerte no es números pero

Mi fuerte no es números pero creo que encontre la solucion del problema.
a)
Lo primero es darse cuenta de que $n$ es multiplo de $5$ entonces, termina en $0$ ó $5$, pero  si termina en $0$ comenzaría en $0$ por lo que descartamos el $0$. $n$ termina en $5$. Vemos el caso con $55$ que no cumple por la congruencia con $3$, entonces buscamos un numero de tres cifras.
Nos fijamos en el criterio de divisibilidad del $4$, que dice que un número es divisible por $4$ si el número formado por los últimos dos dígitos es múltiplo de $4$, cuando los soldados se reparten en filas de $4$ la ultima fila tiene $3$ soldados lo que nos indica que $n\equiv 3 mod 4\therefore$ el # formado por los dos ultimos dígitos de $n$ son congruentes con $3 mod 4$, para encontrar los posibles valores nos fjamos en los multiplos de $4$ que terminan en $6$ y que son menores que $100$ que son: $16,36,56,76,96$.
Ahora vemos el criterio de $3$, sabemos que $n\equiv 2 mod 3$, entonces la suma de los digitos de $n$ en congruente con $2 mod 3$  pero sabemos que al menos $n$ tiene dos $5´s\rightarrow 5+5=10 y 10\equiv 1 mod 3\therefore$ el numero que buscamos es congruente con $1 mod 3$ y puede ser: $1,7$ 
Fucionando los criterios para tres y cuatro obtenemos que, los menores numeros posibles son: $515$ y $575$
Siendo el menor $515$

b)
Para demostrar que existe una infinidad de números que cumplen el inciso a), se buscara no altera ninguno de los crterios antes establecidos añadiendo digitos.
Para lo cual nos serán utiles los números:$16,36,56,76,96$
Necesitamos que el número siga siendo congruente con $2 mod 3$ entonces para no alterar la suma podemos agregarle números congruentes con $0 mod 3$ como el $3$ y $9$ así tampoco alteramos los establecido para el criterio del $4$
Nos quedaría el número $53735$ al cual le podemos ir agregando $0´s$
$5307035,530070035,53000700035...$ demostrando así que existe una cantidad infinirta de números $n$

Cualquier error el uso de la teoría en la explicación, les agradecería que me lo hicieran saber
Saludos

Imagen de Victor Daniel Alvarado

Para (a) tenemos, por (iii)

Para (a) tenemos, por (iii) que n termina en 0 o 5, pero como es capicúa entonces debe terminar en 5, sea n=5am...a15, (su expansión decimal, no un producto) por (i) y (ii) tenemos que n≡ -1 (mod 12), por lo que n+1 es múltiplo de 12.

Luego, n+1 es múltiplo de 4, y por el criterio de divisibilidad, debe terminar en 16, 56 o 96, y para que también la suma de sus dígitos sea múltiplo de 3, observemos que entonces el menor n es 515 (aquí los casos de n+1 eran 56, 516, 556, ...).

Para (b) observemos que todo número de la forma 550...055 cumple (pues 5555 lo hace), pero podemos añadir tantos ceros queramos, por lo que hay una infinidad de números de esa forma.