Publicaciones Recientes

La poderosa Todotriz.

Samuel Elias — Sat, 22 Jul 2023 03:40:53 +0000

Antes de empezar a leer este blog, se deben de conocer los conceptos de Bisectriz, Mediatriz, Mediana y Altura de un triangulo.

Este tema la verdad es muy sencillo, pero puede llegar a ser muy util tanto para novatos como para experimentados. Veamos de que trata.

Sea $ABC$ un triangulo con $AB=AC$. Si trazamos la perpendicular a $BC$ desde A, esa recta sera mediatriz, bisectriz, mediana y altura. Es todo!! (o bueno no se si literalmente todo), entonces, podriamos decir que es una Todotriz. Este es un quintuple si y solo si, y la demostracion es trivial.

La falacia de 1=2

Samuel Elias — Sat, 22 Jul 2023 02:57:12 +0000

Alguna vez han escuchado de los "errores" matematicos, o de las llamadas falacias? Hoy estuve hablando con mi padre acerca de porque los divorcios existen. El me dijo, que la razon principal son los desacuerdos. Normalmente, si queremos llegar a un acuerdo, hay que llegar a algo que sea posible, que respete todo tipo de ley (fisica, moral, etc.), el dice, que no hagamos cosas inviables, y me presento un ejemplo.

"Conoces la falacia de 1=2?" Yo le dije que si (digo, creo que casi cualquiera la conoce), a lo que el me dice, "Cuando empiezas a operar con la pura algebra, parece que estas haciendo cosas correctas, pero cuando sustituyes valores, te das cuenta de que no".

Para los que no conocen el error, aqui les va.

CARMA y su geometria troll

Samuel Elias — Thu, 20 Jul 2023 17:19:58 +0000

Antes de hablar del punto fantasma (no tengo acceso a una computadora entonces quiero hablar de algo simple xD), hace unos dias estaba entrenando para la CVM de CARMA porque es la primera a la que le voy a entrar, y el P4 de 2021 lo senti de que "que es esto?", y en si, todos los problemas de geo de CARMA para mi son muy trolls, o sea, no dificiles, pero tienes que ver algo que mate sus problemas (nome gusta eso xD). Pero bueno, veamos lo que hay.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB$ = 15 cm y $BC$ = 20 cm. Considera la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. Si la tangente a dicha circunferencia en $B$ es perpendicular a la recta que contiene el segmento $AC$. Determina la medida del segmento $AC$ en centimetros.

Algunas noticias recientes para que matetam no muera

Samuel Elias — Wed, 19 Jul 2023 21:32:12 +0000

Que onda, soy Samuel Elias de Cd. Victoria, todavia soy olimpico (2023 es mi ultima olimpiada), y queria decir unas cuantas cosas.

1.- Me estoy dando cuenta que matetam es como un AOPS pero apto para todo publico, ya que hay problemas de cualquier dificultad, muy basico, estatal, nacional e internacional, teniendo tanto potencial en esta pagina, hay que aprovecharlo, no todos los estados tienen esta opcion de subir problemas y que otros compartan sus soluciones.

2.- Tambien voy viendo que puedes publicar material para teoria, pronto estare publicando un articulo del punto fantasma porque vi que aqui no existia XD.

6.- 480°???

Samuel Elias — Tue, 18 Jul 2023 01:17:39 +0000

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $A_1$, $B_1$ y $C_1$ puntos interiores de $ABC$ tales que $BA_1$ = $A_1C$, $CB_1$ = $B_1A$, $AC_1$ = $C_1B$ y <$BA_1C$ + <$CB_1A$ + <$AC_1B$ = 480°.

Las rectas $BC_1$ y $CB_1$ se cortan en $A_2$, las rectas $CA_1$ y $AC_1$ se cortan en $B_2$, y las rectas $AB_1$ y $BA_1$ se cortan en $C_2$.

Demuestra que si el triángulo $A_1B_1C_1$ es escaleno, entonces los tres circuncírculos de los triángulos $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan todos por dos puntos comunes.

NOTA: un triángulo escaleno tiene sus 3 longitudes de lados distintos.

5.- Triángulo Japonés

Samuel Elias — Tue, 18 Jul 2023 00:54:15 +0000

Sea $n$ un entero positivo. Un $triángulo japonés$ consiste en 1 + 2 + ... + $n$ círculos iguales acomodados en forma de triángulo equilátero de modo que para cada $i$ = 1, 2, ..., $n$, la fila número $i$ contiene exactamente $i$ círculos, de los cuales exactamente uno de ellos se pinta de rojo. Un $camino ninja$ en un $triángulo japonés$ es una sucesión de $n$ círculos que comienza en el círculo de la fila superior y termina en el círculo de la fila inferior, pasando sucesivamente de un círculo a uno de los dos círculos inmediatamente debajo de él.

4.- El término 2023

Samuel Elias — Tue, 18 Jul 2023 00:35:28 +0000

Sean $x_1$, $x_2$, ..., $x_{2023}$ números reales positivos, todos distintos entre sí, tales que

$a_n$ = $\sqrt{(x_1 + x_2 + ... + x_n)(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n})}$

es entero para todo $n$ = 1, 2, ..., 2023. Demuestra que $a_{2023} \geq 3034$.

Sugerencia

Sugerencia:

$a_1$ = 1

Demuestra que $a_n \geq $ $a_{n-2}+3$

3.- Un polinomio, una sucesión infinita

Samuel Elias — Tue, 18 Jul 2023 00:23:39 +0000

Para cada entero $k \geq 2$, determina todas las sucesiones infinitas de enteros positivos $a_1, a_2, \dots$ para los cuales existe un polinomio $P$ de la forma $P(x) = x^k + c_{k-1}x^{k-1} + ... + c_1x + c_0$, con $c_0, c_1, \dots , c_{k-1}$ enteros no negativos, tal que

$P(a_n) = a_{n+1}a_{n+2} \cdots a_{n+k}$

para todo $n \geq 1$

2.- Revive la geo con una concurrencia

Samuel Elias — Tue, 18 Jul 2023 00:13:28 +0000

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$. Sea Ω el circuncírculo de ABC. Sea S el punto medio del arco $CB$ de Ω que contiene a A. La perpendicular por $A$ por $BC$ corta al segmento $BS$ en $D$ y a Ω de nuevo en E ≠ A. La paralela a $BC$ por $D$ corta a la recta $BE$ en $L$. Sea ω el circuncírculo del triángulo $BDL$. Las circunferencias ω y Ω se cortan de nuevo en P ≠ B. Demuestra que la recta tangente a ω en P corta a la recta BS en un punto de la bisectriz interior del ángulo <$BAC$.

Sugerencia

Sugerencia:

Después de una pequeña (gran) cacería de ángulos, usa un punto fantasma (digamos P') que cumpla las condiciones que queremos y demuestra que P'=P.

1.- No le tengas miedo a la IMO

Samuel Elias — Tue, 18 Jul 2023 00:04:21 +0000

Determina todos los enteros compuestos $n >1$ que satisfacen la siguiente propiedad:

Si $d_1, d_2, \dots, d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ con $1 = d_1 < d_2< \cdots< d_k = n$, entonces $d_i$ divide a $d_{i+1} + d_{i+2}$ para cada $1 \leq i \leq k-2$.

Sugerencia

Sugerencia:

Este problema es más facil de lo que crees, busca primero cuál es la respuesta y luego demuestra por qué no hay más.

Recuerda esto: $d_k$ = $\frac{d_k}{d_1}$, $d_{k-1}$ = $\frac{d_k}{d_2}$, etcétera.