Publicaciones Recientes

P4. Suma inversa vs Media inversa

Samuel Elias — Sat, 29 Aug 2026 04:56:58 +0000

Sea $n \ge 1$ un entero positivo. Sean $x_1, x_2, \dots, x_n$ una lista de $n$ números reales positivos. Demuestra que

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots + \frac{1}{x_n}\geq \frac{n}{x_1+x_2+\dots x_n}$$

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Alguna formula

Solución

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En los comentarios

P3. ¿Se podrá huir al infinito, y más allá?

Samuel Elias — Sat, 29 Aug 2026 04:55:10 +0000

Javi y Mateo juegan en el tablero mostrado en la figura, el cual consta de 10 puntos (marcados en negro) conectados por segmentos. Inicialmente, Javi se encuentra en el punto $A$ y Mateo en el punto $B$. Los jugadores se mueven de manera alternada por turnos. En cada turno, el jugador correspondiente debe desplazarse desde su posición actual a cualquier punto negro adyacente, siempre que exista un segmento directo que los conecte.

Si Mateo realiza el primer movimiento, determina si Javi puede huir indefinidamente de Mateo. ¿Cambia la respuesta si Javi juega primero?

P2. Ternas pitagóricas de números primos

Samuel Elias — Sat, 29 Aug 2026 04:53:40 +0000

Encuentra todas las ternas de números primos $p, \ q, \ r$ tales que $$p^2+q^2=r^2$$

Sugerencia

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Diferencia de Cuadrados

Solución

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La ecuación se reescribe como $p^2=r^2-q^2$, lo cuál puede factorizarse como binomios conjugados.

$$p^2=(r+q)(r-q)$$

Como $p$ es primo, sabemos que los únicos divisores de $p^2$ son $1, \ p$ y $p^2$. Como $r, \ q>0$, $r+q>r-q$, por lo que el único caso posible es que $r+q=p^2$ y $r-q=1$. La única pareja de primos que satisfacen estar en distancia 1, son el 2 y el 3, por lo que $r=3$ y $q=2$, entonces:

$$p^2=5$$

lo cual es imposible, por lo que no hay soluciones.

P1. Un p1 de Geo

Samuel Elias — Sat, 29 Aug 2026 04:50:40 +0000

Sea $ABCD$ un cuadrado. Sea $E$ un punto en el plano fuera de $ABCD$ de tal forma que el triángulo $AEB$ es equilatero. Los segmentos $AB$ y $EC$ se cortan en $P$. Calcula la medida de los ángulos $\angle APC$ y $\angle CEB$ para demostrar que $$\frac{\angle APC}{\angle CEB} = 7 $$

Sugerencia

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Anguleo

Solución

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Note que $\angle ABC=90^\circ$ (porque $ABCD$ es un cuadrado) y $\angle ABE=60^\circ$ (porque $ABE$ es equilátero). Entonces, dado que $AB=AE=BC$, $\angle CEB =\dfrac{180^\circ -\angle EBC}{2}=15^\circ $.

Por ángulos opuestos por el vértice, $\angle APC=\angle EPB$, que este ángulo es $\angle EPB = 180^\circ - \angle PEB - \angle EBP=180^\circ -60^\circ -15^\circ =105^\circ$. Con esto concluimos que:

$$\frac{\angle APC}{\angle CEB}=\frac{105^\circ}{15^\circ}=7$$

C. Razonamiento Geométrico

Samuel Elias — Sat, 04 Jul 2026 14:24:07 +0000

Observe la siguiente figura. Sea $ABC$ un triángulo. Sea $D$ un punto en el plano opuesto a $B$ tal que el triángulo $ ADC$ es equilátero. Sean $E,F$ puntos en el plano opuestos a $C$ tales que $AEFB$ es un cuadrado. Suponiendo que $E,A,C$ son colineales y $A$ es el punto medio de $EC$, encuentra el valor del ángulo $\angle EDA$. Posteriormente, justifica intuitivamente por qué es posible trazar una circunferencia que pase por los puntos $B, C, D, E$.

Sugerencia

Sugerencia:

Hay varios lados que son iguales. Utiliza eso para calcular ángulos iguales.

B. Tres números, al menos tres soluciones distintas.

Samuel Elias — Sat, 04 Jul 2026 13:16:01 +0000

Ana está pensando en un número primo $p$ que satisface la siguiente propiedad: $p-10,p$ y $p+10$ son números primos. Encuentra todos los posibles números en los que está pensando Ana.

Sugerencia

Sugerencia:

Usa módulo 3 ó 6. Puedes intentar utilizar el criterio del 3 para demostrar que existe al menos un múltiplo de 3.

A. El juego más aburrido de la historia

Samuel Elias — Sat, 04 Jul 2026 13:14:20 +0000

Samuel y Mauricio están jugando un juego en el que tienen una bolsa con un número infinito de piedras. Ambos empiezan con 2026 piedras y se van alternando los turnos. En su turno, pueden hacer uno de los siguientes movimientos:

1: Robar 9 piedras al oponente.

2: agarrar 3 piedras de la bolsa.

El que llegue exactamente a 0 piedras pierde. Si Samuel empieza el juego, determina si existe una estrategia ganadora y justifica tu respuesta.

7. El regreso de los números capicúas y la restricción de s(n)

Samuel Elias — Sat, 04 Jul 2026 13:13:20 +0000

Un número $capicúa$ es un número que se lee de igual forma de izquierda a derecha. Por ejemplo, el número $12321$ es un número $capicúa$, pero el número $123123$ no lo es. Encuentra todos los números capicúas que cumplan, al mismo tiempo, con las siguientes dos propiedades:

Ninguno de sus dígitos es un 0.
La suma de sus dígitos debe ser igual a 13.

Sugerencia

Sugerencia:

Sea $c$ el dígito central. Demuestra que $c$ es impar. ¿Qué propiedad interesante cumplen los números capicúa? ¿Cómo afecta esto a la suma de dígitos?

6. Productos que se cancelan.

Samuel Elias — Sat, 04 Jul 2026 13:10:46 +0000

El siguiente producto

$$ \left (1-\frac{1}{2} \right ) \left (1-\frac{1}{3} \right ) \left (1-\frac{1}{4} \right ) \ldots \left (1-\frac{1}{66} \right )$$

puede expresarse como una fracción reducida $\frac{m}{n}$, donde $m$ y $n$ no tienen divisores primos en común. Calcula $m+n$.

Sugerencia

Sugerencia:

Utiliza que $1-\dfrac{1}{n}=\dfrac{n-1}{n}$ y cancela términos.

5. Un sistema de ecuaciones con proporciones

Samuel Elias — Sat, 04 Jul 2026 13:08:23 +0000

En la clase de matemáticas del Sr. Adolfo, hay $H$ niños y $M$ niñas, de tal forma que $\frac{H}{M}=\frac{2}{3}$. Además, se sabe que $M-H=6$. ¿Cuántos alumnos tiene el Sr. Adolfo en total? En otras palabras, calcule el valor numérico de $M+H$.