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El formato "Concurso Regional" ha regresado

Samuel Elias — Wed, 10 Jun 2026 05:00:09 +0000

Después de una ausencia de 8 años, la etapa regional vuelve, pero ahora con un formato diferente. El examen constará de dos secciones:

Respuesta sin justificar
Respuesta justificada, es decir, redactar tu procedimiento para que la respuesta tenga validez.

Al ser la primera vez de muchos concursantes en la olimpiada, subiré un video en vivo por la página oficial de la OMT para que se den una idea de cómo redactar una solución. La fecha la confirmaré después.

Les deseo mucho éxito a todos los tamaulipecos (y foráneos) que leen cada uno de mis blogs. Espero verlos pronto :D

Atte. Sam :)

8. Un laberinto de espejos y su rasho láser

Samuel Elias — Sun, 07 Jun 2026 15:12:03 +0000

Sea $n$ un entero positivo impar. Un $laberinto \ de \ espejos$ es un tablero de $n \times n$ casillas, con paredes de cristal, donde en cada casilla se coloca un espejo de doble cara en una de las dos diagonales posibles. Dado un laberinto de espejos, apuntamos un láser a una de sus paredes exteriores y el láser entra horizontalmente o verticalmente al laberinto. Si el láser choca con un espejo, siempre choca en el punto medio y se refleja $90^\circ$ según la orientación del espejo.

7. Desigualdades triviales no tan triviales

Samuel Elias — Sun, 07 Jun 2026 15:05:37 +0000

Sean $x,y,z$ números reales positivos tales que $xy+yz+zx=3$. Demuestra que $$\frac{x^2+y^2}{z} + \frac{y^2+z^2}{x} + \frac{z^2+x^2}{y} \ge 6$$

Sugerencia

Sugerencia:

Demuestra que $x+y+z\geq 3$ y utiliza la desigualdad util.

Solución

Solución:

Al parecer, en el mismo concurso descubrimos que la desigualdad $(x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+xz)$ es un hecho conocido. Entonces, como $xy+yz+xz=3$, tenemos que $x+y+z \geq 3$. Por la desigualdad útil, tenemos que:

$$\sum_{cyc} \frac{x^2+y^2}{z} \geq \frac{(2(x+y+z))^2}{2(x+y+z)}=2(x+y+z) \geq 6$$

6. El regreso del gravicentro a la Olimpiada de Matemáticas

Samuel Elias — Sun, 07 Jun 2026 14:50:18 +0000

Sea $ABC$ un triángulo y sean $X, Y, Z$ puntos en los rayos $BC$ (con origen en $B$), $CA$ (con origen en $C$) y $AB$ (con origen en $A$), respectivamente, tales que $BC=CX$, $CA=AY$, y $AB=BZ$. Demuestra que las medianas de $ABC$ y las medianas de $XYZ$ se cruzan todas en el mismo punto.

Nota: Un rayo es una línea que comienza en un punto fijo (llamado origen) y se extiende indefinidamente en una sola dirección).

Sugerencia

Sugerencia:

Puntos medios, paralelas, o si ya no tienes de otra mejor bashealo XD.

5. Defendiendo al pueblo del dragón

Samuel Elias — Sun, 07 Jun 2026 14:45:19 +0000

Una guerrera, con ayuda de un pueblo, atacará a un dragón durante 2026 días. Cada día se realiza exactamente una de las siguientes acciones:

Atacar: Cada guerrera le hace 1 punto de daño al dragón.
Entrenar: Exactamente una pueblerina entrena y se convierte en guerrera. Ninguna guerrera ataca ese día.

El daño total es la suma del daño hecho a lo largo de los 2026 días. [El pueblo cuenta con inicialmente a una guerrera. ¿Cuál es la máxima cantidad de puntos de daño total que puede recibir el dragón?

Sugerencia

Sugerencia:

Primero demuestra que es mejor entrenar todos los días y luego atacar. Luego encuentra alguna función que describa el daño total que hacen las guerreras. Por último, maximízala.

Solución

Solución:

Primero demostremos la estrategia óptima de entrenamiento. Supongamos que, en un par de días cualquiera, hay un día de Ataque (A) seguido por un día de Entrenamiento (E). Si intercambiamos A, E por E, A obtenemos que, con la misma cantidad de guerreras, se hace un punto más de daño total sin afectar al resto de los días. En general, la estrategia óptima es:
$$E,E,E,E,E, \dots , A,A$$

para alguna cantidad de $E$ y $A$, las cuales pertenecen a $[0, \ 2026]$. Observe que si hay $k$ E's, hay un total de $k+1$ guerreras, y un total de $2026-k$ días para atacar, por lo que la función de daño total es $(k+1)(2026-k)$. Esta es una ecuación cuadrática con coeficiente negativo, por lo que tiene un máximo. Realizando las cuentas, el máximo se alcanza si $k=1013$, por lo que la respuesta es $1027182$.

4. Acotando al fallo con la función s(n)

Samuel Elias — Sun, 07 Jun 2026 14:40:11 +0000

Para un número entero positivo $n$, sea $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$, por ejemplo $s(12)=1+2=3$. Halla todas las tripletas de enteros mayores que cero $(a, b, c)$ tales que

$$s(a+b)=c, \ s(b+c)=a, \ s(c+a)=b$$

Sugerencia

Sugerencia:

Usa tamaños. ¿Será que la suma de dígitos es comparable con algun número cualquiera?

Demuestra que todos los números son de 1 dígito. ¿Serán todos iguales?

Solución

Solución:

Por módulo 9, se tiene que $s(n) \equiv n \pmod 9$, entonces:

$$c\equiv a+b, \ a \equiv b+c, b \equiv c+a$$

Si pasamos restando (en la primera congruencia) la $b$ y sustituimos la $a$, tenemos que $c-b \equiv b+c \pmod 9 \iff 2b\equiv 0 \pmod 9$. Como $mcd(2,9) = 1$, entonces $b \equiv 0 \pmod 9$. Análogamente, $a \equiv b \equiv c \equiv 0 \pmod 9$.

$WLOG, \ c \geq b \geq a$. Sea $k$ la cantidad de dígitos que tiene $c$. Entonces, como $10^{k-1} \leq c<10^k$, $a+b\leq c+c=2c < 2\cdot 10^k < 10^{k+1}$.

Como $s(n) \leq 9k$ si $n$ tiene $k$ dígitos, entonces $c=s(a+b)\leq 9(k+1)$. Por tanto,

$$9(k+1)\geq c \geq 10^{k-1}$$.

Usando tamaños, $k\leq 2$, entonces $c \leq 9(2+1)=27$. Como $c \equiv 0 \pmod 9$, entonces $c = 9, 18, 27$.

Si $c=27$, $a+b \leq 54$, pero $max s(a+b)=13$ usando $a+b=49$, por tanto este caso es imposible.
Si $c=18$, $a+b \leq 36$, pero $max s(a+b)=11$ usando $a+b=29$, imposible.
Si $c=9$, tenemos que $a \equiv b \equiv c \equiv 0 \pmod 9$, y que $c\geq b \geq a > 0$, entonces $a=b=c=9$.

Si confirmamos: $s(9+9)=s(18)=9$.

3. Árboles de Tejocootes en La Malinche

Samuel Elias — Sat, 06 Jun 2026 15:33:46 +0000

En el Parque Nacional "La Malinche", hay 2026 árboles enumerados del 1 al 2026 y 2026 ardillas enumeradas del 1 al 2026, cada una con algunos tejocotes. En el $k$-ésimo minuto, la ardilla que tiene el número $k$ va a hacer lo siguiente:

Elige sus $k$ árboles $favoritos$, de entre los cuales elige un solo árbol donde esconde $k$ tejocotes.
En los demás $k-1$ árboles $favoritos$, esconde 1 tejocote por árbol.

¿De cuántas maneras pueden las 2026 ardillas esconder sus tejocotes si al final de los 2026 minutos todos los árboles tienen la misma cantidad de tejocotes escondidos?

Sugerencia

Sugerencia:

Digamos que el árbol donde deposita la ardilla $k$ los $k$ tejocotes, es el árbol $superfavorito$. Demuestra que cada árbol es exactamente una vez un árbol superfavorito.

Solución

Solución:

Vamos a contar cuantos tejocotes hay. La ardilla $k$ deja un total de $k+k-1=2k-1$ tejocotes en total. Por tanto, hay $$\sum_{k=1}^{2026} 2k-1=2026^2$$ tejocotes en total. Como todos los árboles deben tener la misma cantidad de tejocotes, cada árbol poseé 2026 tejocotes.

Ahora, cada árbol es el $superfavorito$ exactamente una vez. Primero, si un árbol nunca es escogido, entonces tiene un máximo de 2025 tejocotes. Ahora, como un árbol es escogido al menos una vez, por casillas un árbol no puede ser escogido al menos dos veces, porque si no, existiría al menos un árbol que no es escogido.

Con esto, tenemos que la ardilla uno tiene 2026 opciones de elegir a su superfavorito, la dos 2025, y así. Por tanto, la respuesta es 2026!

Resultados V Concurso Nacional Femenil de la OMM

Samuel Elias — Sat, 06 Jun 2026 14:55:05 +0000

Es indudable que los resultados de nuestro estado en concursos nacionales han ido creciendo constantemente a lo largo del tiempo. Después del bajón que tuvimos en la OMM 2024, nos hemos recuperado. Pero, en este concurso puedo afirmar que, sin ninguna duda, nos hemos superado. El excelente desempeño que realizaron las chicas que participaron en la V OMMFEM nos permitieron posicionarnos en el Tercer Lugar a nivel nacional en la categoría de Nivel II (alumnas de preparatoria) y en los mejores 15 de Nivel I (alumnas de secundaria).

Los resultados individuales son los siguientes.

Nivel I:

2. Prismificar y Cubificar

sebas islas — Sat, 06 Jun 2026 01:48:05 +0000

A la gran hechicera le encantan los cubos y está por jugar un juego. Comienza con un cubo de lado $1$ y otro de lado $x$ (donde $x$ > $1$). En cada turno, la hechicer realiza los siguientes dos encantamiento, uno después del otro:

Sugerencia

Sugerencia:

Primero, demuestra que un cubo nunca es encantado dos veces seguidas (ni más, es decir, la echicera encanta un cubo distinto en cada turno).

Después, intenta encontrar y demostrar una fórmula para el volumen del cubo de mayor tamaño en el turno $n$.

Al final, sustituye $n=2026$ (o $n=2027$, dependiendo del timing) y aplica raíz cúbica, pues el problema pide la medida del lado.

Solución

Solución:

Podemos ver que la altura del prisma será en cualquier caso $$h=\frac{\ell _M^3}{\ell _m^2}$$

Para que $h$ sea el valor del lado de cubo mayor del siguiente turno, se demuestra como se sigue:

$$\ell_M > \ell_m \geq 1 \implies \ell_M^2 > \ell_m^2$$

Como $\ell_M>1$, entonces $\ell_M^3>\ell_M \ell_m^2 > \ell_m^2$.

Ento general: $\ell_{n+1} = \frac{\ell_n^3}{\ell_{n-1}^2}$.

$Claim: \ \ell_k = x^{2^k-1}$.

$Proof:$ Usando inducción, el caso base es $\ell_2 = x^{2^2-1}=x^3$, lo cual es cierto pues $\ell_2 = \frac{x^3}{1^2}=x^3$.

Nuestra hipótesis (por inducción en pares) es que:

$$\ell_k=x^{2^k-1}, \ \ \ \ \ell_{k-1}=x^{2^{k-1}-1}$$

Entonces:

$$\ell_{k+1}=\frac{(x^{2^k-1})^3}{(x^{2^{k-1}-1})^2}=x^{3\cdot2^k-3-2\cdot2^{k-1}+2}=x^{2^{k+1}-1}$$

Entonces, la respuesta es sólo sustituir en $k+1=2027$.

1. Un Pentágono y Dos Equiláteros

sebas islas — Sat, 06 Jun 2026 01:29:08 +0000

En un pentágono regular $ABCDE$ se trazan dos triángulos equiláteros $\triangle FBE$ y $\triangle ABG$, como se muestra en la figura. Sea $H$ el punto de intersección de $BF$ con $AG$ ¿Cuál es el valor del ángulo $\angle FHG$?

Sugerencia

Sugerencia:

Usar los ángulos de los isóceles $\triangle EAB$ con los del equilátero.

Solución

Solución:

Sabemos que $\angle EAB = 108$ y que $AE=EB$ $\Rightarrow$ $\angle ABE = 36$ y como $\angle EBF = 60$ entonces $\angle ABH = 24$, y $\angle FHG = \angle AHB$ porque son puestos por el vertice y $\angle AHB = 180 -\angle HAB - \angle HBA = 180 - 60 - 24 = 96$