Publicaciones Recientes https://www.matetam.com/publicaciones_recientes/images/stories/administrator/components/de-consulta/books/geometria-basica-principiantes/descargas/matetam_docs/CIUDADES_SEDES_OMM.xls es P8. Al menos $n-2$ enteros primos en la secuencia $2^kn$ https://www.matetam.com/problemas/numeros/p8-al-menos-n-2-enteros-primos-secuencia-2kn <p>Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que los $n$ números \[2n+1, \quad 2^2n+1,\quad \dots,\quad 2^nn+1\] se tiene que $n$, $n-1$ o $n-2$ de ellos son números primos.</p> https://www.matetam.com/problemas/numeros/p8-al-menos-n-2-enteros-primos-secuencia-2kn#comments Números Avanzado III Concurso Femenil OMM Fri, 14 Jun 2024 02:09:13 +0000 jesus 4117 at https://www.matetam.com P7. Raíces de cuadráticas https://www.matetam.com/problemas/algebra/p7-raices-cuadraticas <p>Consideremos la ecuación cuadrática $x^2+a_0x+b_0$ para algunos reales $(a_0, b_0)$. Repetimos el siguiente proceso tantas veces como sea posible:</p> <p>Tomamos $r_i$, $s_i$ las raíces de la ecuación $x^2+a_ix +b_i=0$ y $c_i = \min\{r_i, s_i\}$. Y escribimos la nueva ecuación $x^2 +b_ix +c_i$. Es decir, para la repetición $i+1$ del proceso $a_{i+1} = b_i$ y $b_{i+1} = c_i$</p> <p>Decimos que $(a_0, b_0)$ es una pareja interesante si, después de un número finito de repeticiones, cuando volvemos a realizar el proceso de la nueva ecuación escrita es la misma que la anterior, de manera que $(a_{i+1}, b_{i+1}) = (a_i,b_i)$</p> <p>Nota: Las raíces de una ecuación son los valores de $x$ tales que $x^2+ax+b=0$</p> https://www.matetam.com/problemas/algebra/p7-raices-cuadraticas#comments Álgebra Avanzado III Concurso Femenil OMM Thu, 13 Jun 2024 17:33:02 +0000 jesus 4116 at https://www.matetam.com P6. Tablero 4x4 y paridad de coloreado https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p6-tablero-4x4-y-paridad-coloreado En un tablero $4 \times 4$ cada casilla se colorea de negro o blanco de tal manera que cada fila y cada columna tenga una cantidad par de casillas negras. ¿De cuántas maneras se puede colorear el tablero? https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p6-tablero-4x4-y-paridad-coloreado#comments Combinatoria Avanzado III Concurso Femenil OMM Thu, 13 Jun 2024 17:25:53 +0000 jesus 4115 at https://www.matetam.com P5. Calcula el área del cudrilátero DHEO https://www.matetam.com/problemas/geometria/p5-calcula-area-del-cudrilatero-dheo <p>Se tiene el triángulo acutángulo $ABC$. El segmento $BC$ mide 40 unidades. Sea $H$ el <a href="//www.matetam.com/glosario/definicion/ortocentro">ortocentro</a> del triángulo $ABC$ y $O$ su circuncentro. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ y $E$ el pie de la altura desde $B$. Además el punto $D$ parte al segmento $BC$ de manera que $\frac{BD}{DC} = \frac{3}{5}$. Si la mediatriz del segmento $AC$ pasa por el punto $D$, calcula el área del cuadrilátero $DHEO$.</p><p> </p><p><em>Nota</em>: El ortocentro es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. El circuncentro es el centro del círculo que pasa por los tres vértices del triángulo. </p> https://www.matetam.com/problemas/geometria/p5-calcula-area-del-cudrilatero-dheo#comments Geometría Intermedio III Concurso Femenil OMM Thu, 13 Jun 2024 16:44:48 +0000 jesus 4114 at https://www.matetam.com P4. Ana y Beto coloreando cuadrados https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p4-ana-y-beto-coloreando-cuadrados <p>Hay 6 cuadrados en una fila. Cada uno se etiqueta con el nombre de Ana o Beto y con un n&uacute;mero del 1 al 6, usando cada cada n&uacute;mero sin repetir. Ana y Beto juegan a pintar cada cuadrado siguiendo el orden de los n&uacute;meros en las etiquetas. Quien pinte el cuadrado ser&aacute; la persona cuyo nombre est&eacute; en la etiqueta. Al pintarlo, la persona podr&aacute; elegir si pintar el cuadrado de rojo o azul. Beto gana si al final hay la misma cantidad de cuadrados azules como rojos, y Ana gana en caso contrario. &iquest;En cu&aacute;ntas de todas las posibles maneras de etiquetar los cuadrados puede Beto asegurar su cictoria?</p> <p>El siguiente es un ejemplo de una asignaci&oacute;n de etiquetas.</p><img src="https://www.matetam.com/sites/default/files/imagecache/teaser/u4images/cuadrados_para_pintar.png" alt="" title="" width="400" height="96" class="teaserthumbnail"/><p><a href="https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p4-ana-y-beto-coloreando-cuadrados" target="_blank">leer más</a></p> https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p4-ana-y-beto-coloreando-cuadrados#comments Combinatoria Avanzado III Concurso Femenil OMM Wed, 12 Jun 2024 19:25:03 +0000 jesus 4113 at https://www.matetam.com P3. Triángulo, Altura y punto en Mediatriz. https://www.matetam.com/problemas/geometria/p3-triangulo-altura-y-punto-mediatriz <p>Sea $ABC$ un tri&aacute;ngulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Sea $M$ un punto tal que $MB = MC$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones del circunc&iacute;rculo de $BMD$ y $CMD$ con $AD$. Sean $G$ y $H$ las intersecciones de $MB$ y $MC$ con $AD$. Demuestra que $EG = FH$</p> <fieldset class="fieldgroup group-sugerencia"><legend>Sugerencia</legend><div class="field field-type-text field-field-sugerencia"> <div class="field-label">Sugerencia:&nbsp;</div> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <p>Traza $FM$ y $EM$, con eso empieza a cazar &aacute;ngulos con los c&iacute;clicos dados.&nbsp;</p> <p>&nbsp;</p> </div> </div> </div> </fieldset> <fieldset class="fieldgroup group-sol-sep"><legend>Solución</legend><div class="field field-type-userreference field-field-sol-autor"> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <div class="field-label-inline-first"> Por:&nbsp;</div> Samuel Elias </div> </div> </div> <div class="field field-type-text field-field-sol"> <div class="field-label">Solución:&nbsp;</div> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <p>Al ser $MB=MC$, $\angle MBC = \angle MCB$. Por el c&iacute;clico $DBEM, \angle DEM = \angle DBM$, y por el c&iacute;clico $DFMC, \angle MCD= \angle MFE$ (esto porque $\angle MFE$ es un &aacute;ngulo externo al &aacute;ngulo opuesto de $\angle MCD$). Com esto se puede concluir que $FM=ME$.&nbsp;</p> <p>&nbsp;</p> <p>Ahora, observe que $\angle BGD= 90- \angle MBC$ gracias a que $\angle GDB=90$. Esto va a implicar que el $\angle HGM= \angle BGD$ por ser opuestos por el v&eacute;rtice.&nbsp;</p> <p>Tambi&eacute;n, se puede observar que $\angle DHC=90- \angle BCM$ por la misma raz&oacute;n que $EDC=90$. Pero como sabemos que $\angle MBC=&nbsp; \angle MCB$, entonces $\angle MGH = \angle MHG \Rightarrow MHE= \angle MGF$. Con esto es f&aacute;cil observar la congruencia de $FGM$ con $HEM$, entonces $FG=HE$.&nbsp;</p> <p>Vamos a traducir el problema.&nbsp;</p> <p>$$EG=FH \iff FE-FG=FE-EH \iff -FG=-EH \iff FG=EH$$</p> <p>Como llegamos a que esto es cierto, entonces el problema esta terminado.</p> <p></p> </div> </div> </div> </fieldset> https://www.matetam.com/problemas/geometria/p3-triangulo-altura-y-punto-mediatriz#comments Geometría Intermedio III Concurso Femenil OMM Wed, 12 Jun 2024 18:39:31 +0000 jesus 4112 at https://www.matetam.com P2. Papelitos con números y fracciones con raíces cuadradas racionales. https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p2-papelitos-numeros-y-fracciones-raices-cuadradas-racionales <p>Se tienen 50 papelitos con los números del 1 al 50. Se quieren tomar 3 papelitos de tal manera que a cualquiera de los 3 números, dividido entre el máximo común divisor de los otros dos, se le puede sacar la raíz cuadrada de tal manera que quede un número racional.</p> <p>¿Cuántas tercias (no ordenadas) de papelitos cumplen esta condición?</p> <p>Nota: Un número es racional si se puede escribir como la división de 2 enteros.</p> https://www.matetam.com/problemas/combinatoria/p2-papelitos-numeros-y-fracciones-raices-cuadradas-racionales#comments Combinatoria Números Avanzado III Concurso Femenil OMM Wed, 12 Jun 2024 17:51:52 +0000 jesus 4111 at https://www.matetam.com P1. Ecuación cuadrática con sumatoria https://www.matetam.com/problemas/algebra/p1-ecuacion-cuadratica-sumatoria Sea $x$ un número real. Determina la solución de la siguiente ecuación: \[ \frac{x^2 + 1}{1}+\frac{x^2 + 2}{2}+ \dots + \frac{x^2 + 2024}{2024} = 2024 \] https://www.matetam.com/problemas/algebra/p1-ecuacion-cuadratica-sumatoria#comments Álgebra Intermedio III Concurso Femenil OMM Wed, 12 Jun 2024 05:08:23 +0000 jesus 4110 at https://www.matetam.com Resultados XXXVII OMM https://www.matetam.com/blog/entradas-samuel-elias/resultados-xxxvii-omm <a href="/blog/entradas-samuel-elias/resultados-xxxvii-omm"></a><a href="/blog/entradas-samuel-elias/resultados-xxxvii-omm"></a><p>Hola, les escribo desde mi casa XD, el d&iacute;a de hoy llegamos a Tamaulipas desde Durango, llegamos a las 7:00 am. La verdad, desde mi punto de vista como participante, el nacional estuvo muy triste, pude haber hecho m&aacute;s. Desde mi punto de vista como persona, es que esta olimpiada estuvo bastante bien como las dem&aacute;s, en los &uacute;ltimos 5 a&ntilde;os Tamaulipas no ha ca&iacute;do en el rankin como sol&iacute;a hacerlo en a&ntilde;os pasados, manteniendose siempre entre los mejores 16 del pa&iacute;s, y en 2 ocasiones entrando en los mejores 8.&nbsp;</p> <p>Esta a&ntilde;o, Tamaulipas qued&oacute; en 11&deg; lugar, con los siguientes resultados:</p><p><a href="https://www.matetam.com/blog/entradas-samuel-elias/resultados-xxxvii-omm" target="_blank">leer más</a></p> https://www.matetam.com/blog/entradas-samuel-elias/resultados-xxxvii-omm#comments XXXVII OMM 2023 Sat, 11 Nov 2023 19:02:19 +0000 Samuel Elias 4109 at https://www.matetam.com P6 Primer problema real de funcionales https://www.matetam.com/problemas/algebra/p6-primer-problema-real-funcionales <p>Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos {1, 2, ...}. Determina todas las funciones $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$ se cumple al mismo tiempo que:</p> <p>$$f(m+n) \ |\ f(m) + f(n)$$ $$f(m)f(n)\ | \ f(mn)$$</p> <p class="rtejustify">Nota: $a | b$ quiere decir que el n&uacute;mero entero $a$ divide al n&uacute;mero entero $b$.</p><fieldset class="fieldgroup group-sugerencia"><legend>Sugerencia</legend><div class="field field-type-text field-field-sugerencia"> <div class="field-label">Sugerencia:&nbsp;</div> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> Las respuestas son la función 1 y la identidad. Haz dos grandes casos: $f(2)=1$ y $f(2)=2$. Para $f(2)=2$ haz un argumento inductivo para que $f(2^k)=2^k$. Para $f(2)=1$ considera un elemento minimal $a$, tal que $f(a)=2$y utiliza la condición de divisibilidad para demostrar que es imposible que $a>2$. </div> </div> </div> </fieldset> https://www.matetam.com/problemas/algebra/p6-primer-problema-real-funcionales#comments Álgebra Números Avanzado XXXVII OMM 2023 Sat, 11 Nov 2023 15:12:38 +0000 Samuel Elias 4108 at https://www.matetam.com