Publicaciones Recientes

P6. Un problema de excentros en la OMM

Samuel Elias — Thu, 27 Nov 2025 22:51:27 +0000

Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el excentro opuesto a $A$. La perpendicular a $AI$ por $I$ interseca a las rectas $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente. La circunferencia $\omega_b$ es tangente a $EF$ y $AB$ en $B$ de modo que está en el exterior del triángulo $AEF$. Análogamente, la circunferencia $\omega_c$ es tangente a $EF$ y $AC$ en $C$ de modo que está en el exterior del triángulo $AEF$. La recta $IB$ corta de nuevo a $\omega_b$ en $X$ y la recta $IC$ corta de nuevo a $\omega_c$ en $Y$.

Sea $\omega_a$ el excírculo del triángulo $AEF$ opuesto a $A$. Pruebe que la reflexión de $\omega_a$ respecto a $EF$ es tangente a $XY$

P5. Primos y potencias perfectas

Samuel Elias — Thu, 27 Nov 2025 22:45:49 +0000

Determina para cuales enteros positivos $n \geq 3$ existen $n$ números primos, no necesariamente distintos, $p_1, p_2, \dots , p_n$ tales que

$$p_1p_2+1, \ p_2p_3+1, \dots , p_{n-1}p_n+1, \ p_np_1+1$$

son todos potencias perfectas.

$Nota:$ una potencia perfecta es un número de la forma $a^k$ con $k \geq 2$ y $a, k$ enteros positivos.

Sugerencia

Sugerencia:

Módulo 4 y módulo 8 :)

P4. Las hormigas troll de Lalo

Samuel Elias — Thu, 27 Nov 2025 22:42:15 +0000

A Lalo le regalaron una red mágica, como la que se muestra en la figura. La red consta de 20 vértices unidos por algunas aristas. Lalo coloca, de una en una, hormigas en los vértices de la red. Las hormigas caminan sobre las aristas, y al hacerlo, la arista recorrida va desapareciendo. Lalo tiene $n$ hormigas y juega colocándolas de la siguiente manera:

Sugerencia

Sugerencia:

La razón por la que este problema es troll es la siguiente:

Demuestra que $n \leq 10$
Demuestra que $n \geq 10$ y por lo tanto $n=10$
Encuentra un acomodo usando tu demostración de que $n \leq 10$

P3. Los caminos ascendentes completos

Samuel Elias — Thu, 27 Nov 2025 22:25:36 +0000

Sea $n$ un entero positivo. Considera un tablero de $2 \times n$ dividido en cuadrados de $1 \times 1$. Cada cuadrado del tablero se etiqueta con un número distinto elegido de entre el $1$ al $2n$ elegido exactamente una vez.

Uno igual al del 2011 (P2)

jesus — Wed, 26 Nov 2025 19:55:12 +0000

Sea $n \ge 4$ un entero. Encuentra todas las sucesiones de números reales $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ tales que satisfacen simultáneamente las siguientes ecuaciones: \[ x_1^3 + x_2 = x_2 x_3 + 1, \] \[ x_2 + x_3 = x_3 x_4 + 1, \] \[ \vdots \] \[ x_n^3 + x_1 = x_1 x_2 + 1. \]

Paralelas si y sólo si paralelas (P6)

jesus — Wed, 26 Nov 2025 19:54:19 +0000

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de radios diferentes que se cortan en los puntos $A$ y $B$. Consideremos un punto $C$ sobre la recta $AB$ de modo que $B$ queda entre $A$ y $C$.

Sean $P$ y $Q$ puntos sobre $C_1$ y $C_2$, respectivamente, tales que $CP$ es tangente a $C_1$, $CQ$ es tangente a $C_2$, $P$ no está dentro de $C_2$ y $Q$ no está dentro de $C_1$.

La recta $PQ$ corta de nuevo a $C_1$ en $R$ y a $C_2$ en $S$, ambos puntos distintos de $B$.

Supongamos que $CR$ corta de nuevo a $C_1$ en $X$ y $CS$ corta de nuevo a $C_2$ en $Y$. Sea $Z$ un punto sobre la recta $XY$.

Muestra que $SZ$ es paralela a $QX$ si y sólo si $PZ$ es paralela a $RX$.

Cudarícula de lados $(2^n - 1)$ y $(2^n + 1)$ (P5)

jesus — Wed, 26 Nov 2025 19:50:26 +0000

Una cuadrícula con lados de longitudes $(2^n - 1)$ y $(2^n + 1)$ se quiere dividir en rectángulos ajenos con lados sobre líneas de la cuadrícula y con un número de cuadraditos de $1 \times 1$ dentro del rectángulo igual a una potencia de $2$.

Encuentra la menor cantidad de rectángulos en los que se puede dividir la cuadrícula.

Nota: El $1$ es considerado una potencia de $2$ pues $2^0 = 1$.

Número de dos dígitos divisible del 1 al 9 (P4)

jesus — Wed, 26 Nov 2025 19:47:16 +0000

Encuentra el menor entero positivo tal que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos y que es divisible entre cada uno de los números del $1$ al $9$.

Nota: Un ejemplo de un número que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos es el $2202022002$.

Un sistema de ecuaciones (P3)

jesus — Wed, 26 Nov 2025 19:42:36 +0000

Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Encuentra todas las soluciones $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de números reales que satisfacen el siguiente sistema de $n$ ecuaciones:

\[ \begin{aligned} a_1^2 + a_1 - 1 &= a_2, \\ a_2^2 + a_2 - 1 &= a_3, \\ &\ \vdots \\ a_{n-1}^2 + a_{n-1} - 1 &= a_n, \\ a_n^2 + a_n - 1 &= a_1. \end{aligned} \]

Una recta que pasa por el ortocentro(P2)

jesus — Wed, 26 Nov 2025 19:40:37 +0000

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con sus vértices sobre la circunferencia $\mathcal C$.

Sea $l$ la recta tangente a $\mathcal C$ en el punto $A$. La circunferencia con centro $B$ y radio $BA$ intersecta a la recta $l$ en $D$ y a la recta $AC$ en $E$. Muestra que la recta $DE$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.

Nota: El ortocentro de un triángulo es el punto donde concurren las tres alturas del triángulo.