Publicaciones Recientes

P8. Al menos $n-2$ enteros primos en la secuencia $2^kn$

jesus — Fri, 14 Jun 2024 02:09:13 +0000

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que los $n$ números \[2n+1, \quad 2^2n+1,\quad \dots,\quad 2^nn+1\] se tiene que $n$, $n-1$ o $n-2$ de ellos son números primos.

P7. Raíces de cuadráticas

jesus — Thu, 13 Jun 2024 17:33:02 +0000

Consideremos la ecuación cuadrática $x^2+a_0x+b_0$ para algunos reales $(a_0, b_0)$. Repetimos el siguiente proceso tantas veces como sea posible:

Tomamos $r_i$, $s_i$ las raíces de la ecuación $x^2+a_ix +b_i=0$ y $c_i = \min\{r_i, s_i\}$. Y escribimos la nueva ecuación $x^2 +b_ix +c_i$. Es decir, para la repetición $i+1$ del proceso $a_{i+1} = b_i$ y $b_{i+1} = c_i$

Decimos que $(a_0, b_0)$ es una pareja interesante si, después de un número finito de repeticiones, cuando volvemos a realizar el proceso de la nueva ecuación escrita es la misma que la anterior, de manera que $(a_{i+1}, b_{i+1}) = (a_i,b_i)$

Nota: Las raíces de una ecuación son los valores de $x$ tales que $x^2+ax+b=0$

P6. Tablero 4x4 y paridad de coloreado

jesus — Thu, 13 Jun 2024 17:25:53 +0000

En un tablero $4 \times 4$ cada casilla se colorea de negro o blanco de tal manera que cada fila y cada columna tenga una cantidad par de casillas negras. ¿De cuántas maneras se puede colorear el tablero?

P5. Calcula el área del cudrilátero DHEO

jesus — Thu, 13 Jun 2024 16:44:48 +0000

Se tiene el triángulo acutángulo $ABC$. El segmento $BC$ mide 40 unidades. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $O$ su circuncentro. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ y $E$ el pie de la altura desde $B$. Además el punto $D$ parte al segmento $BC$ de manera que $\frac{BD}{DC} = \frac{3}{5}$. Si la mediatriz del segmento $AC$ pasa por el punto $D$, calcula el área del cuadrilátero $DHEO$.

Nota: El ortocentro es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. El circuncentro es el centro del círculo que pasa por los tres vértices del triángulo.

P4. Ana y Beto coloreando cuadrados

jesus — Wed, 12 Jun 2024 19:25:03 +0000

Hay 6 cuadrados en una fila. Cada uno se etiqueta con el nombre de Ana o Beto y con un número del 1 al 6, usando cada cada número sin repetir. Ana y Beto juegan a pintar cada cuadrado siguiendo el orden de los números en las etiquetas. Quien pinte el cuadrado será la persona cuyo nombre esté en la etiqueta. Al pintarlo, la persona podrá elegir si pintar el cuadrado de rojo o azul. Beto gana si al final hay la misma cantidad de cuadrados azules como rojos, y Ana gana en caso contrario. ¿En cuántas de todas las posibles maneras de etiquetar los cuadrados puede Beto asegurar su cictoria?

El siguiente es un ejemplo de una asignación de etiquetas.

P3. Triángulo, Altura y punto en Mediatriz.

jesus — Wed, 12 Jun 2024 18:39:31 +0000

Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Sea $M$ un punto tal que $MB = MC$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones del circuncírculo de $BMD$ y $CMD$ con $AD$. Sean $G$ y $H$ las intersecciones de $MB$ y $MC$ con $AD$. Demuestra que $EG = FH$

Sugerencia

Sugerencia:

Traza $FM$ y $EM$, con eso empieza a cazar ángulos con los cíclicos dados.

Solución

Solución:

Al ser $MB=MC$, $\angle MBC = \angle MCB$. Por el cíclico $DBEM, \angle DEM = \angle DBM$, y por el cíclico $DFMC, \angle MCD= \angle MFE$ (esto porque $\angle MFE$ es un ángulo externo al ángulo opuesto de $\angle MCD$). Com esto se puede concluir que $FM=ME$.

Ahora, observe que $\angle BGD= 90- \angle MBC$ gracias a que $\angle GDB=90$. Esto va a implicar que el $\angle HGM= \angle BGD$ por ser opuestos por el vértice.

También, se puede observar que $\angle DHC=90- \angle BCM$ por la misma razón que $EDC=90$. Pero como sabemos que $\angle MBC= \angle MCB$, entonces $\angle MGH = \angle MHG \Rightarrow MHE= \angle MGF$. Con esto es fácil observar la congruencia de $FGM$ con $HEM$, entonces $FG=HE$.

Vamos a traducir el problema.

$$EG=FH \iff FE-FG=FE-EH \iff -FG=-EH \iff FG=EH$$

Como llegamos a que esto es cierto, entonces el problema esta terminado.

P2. Papelitos con números y fracciones con raíces cuadradas racionales.

jesus — Wed, 12 Jun 2024 17:51:52 +0000

Se tienen 50 papelitos con los números del 1 al 50. Se quieren tomar 3 papelitos de tal manera que a cualquiera de los 3 números, dividido entre el máximo común divisor de los otros dos, se le puede sacar la raíz cuadrada de tal manera que quede un número racional.

¿Cuántas tercias (no ordenadas) de papelitos cumplen esta condición?

Nota: Un número es racional si se puede escribir como la división de 2 enteros.

P1. Ecuación cuadrática con sumatoria

jesus — Wed, 12 Jun 2024 05:08:23 +0000

Sea $x$ un número real. Determina la solución de la siguiente ecuación: \[ \frac{x^2 + 1}{1}+\frac{x^2 + 2}{2}+ \dots + \frac{x^2 + 2024}{2024} = 2024 \]

Resultados XXXVII OMM

Samuel Elias — Sat, 11 Nov 2023 19:02:19 +0000

Hola, les escribo desde mi casa XD, el día de hoy llegamos a Tamaulipas desde Durango, llegamos a las 7:00 am. La verdad, desde mi punto de vista como participante, el nacional estuvo muy triste, pude haber hecho más. Desde mi punto de vista como persona, es que esta olimpiada estuvo bastante bien como las demás, en los últimos 5 años Tamaulipas no ha caído en el rankin como solía hacerlo en años pasados, manteniendose siempre entre los mejores 16 del país, y en 2 ocasiones entrando en los mejores 8.

Esta año, Tamaulipas quedó en 11° lugar, con los siguientes resultados:

P6 Primer problema real de funcionales

Samuel Elias — Sat, 11 Nov 2023 15:12:38 +0000

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos {1, 2, ...}. Determina todas las funciones $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$ se cumple al mismo tiempo que:

$$f(m+n) \ |\ f(m) + f(n)$$ $$f(m)f(n)\ | \ f(mn)$$

Nota: $a | b$ quiere decir que el número entero $a$ divide al número entero $b$.

Sugerencia

Sugerencia:

Las respuestas son la función 1 y la identidad. Haz dos grandes casos: $f(2)=1$ y $f(2)=2$. Para $f(2)=2$ haz un argumento inductivo para que $f(2^k)=2^k$. Para $f(2)=1$ considera un elemento minimal $a$, tal que $f(a)=2$y utiliza la condición de divisibilidad para demostrar que es imposible que $a>2$.