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Problema 1, OMM 2005
Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, y $P$ un punto cualquiera del segmento $BC$ ($P$ no es ni $B$ ni $C$). La circunferencia circunscrita al triángulo $BPO$ corta en $R$ al segmento $AB$ ($R$ no es $A$ ni es $B$), y la circunferencia circunscrita al triángulo $COP$ corta en $Q$ al segmento $CA$ ($Q$ no es $C$ ni es $A$).
i)Demostrar que el triángulo $PQR$ es semejante al $ABC$ y que $O$ es ortocentro de $PQR$.
ii)Demuestrar que las circunferencias circunscritas a los triángulos $BPO$, $COP$ y $PQR$ son todas del mismo tamaño.
El problema 6 de la OMM 2005
Como se sabe, uno de los 6 problemas del concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas es muy difícil –incluso para aquellos concursantes que han tenido un buen entrenamiento. He aquí el enunciado del problema 6 del concurso nacional de 2005.
Sea $ABC$ un triángulo y $AD$ la bisectriz del ángulo $BAC$, con $D$ sobre $BC$. Sea $E$ un punto sobre el segmento $BC$ tal que $BD = EC$. Por $E$ traza $l$ la recta paralela a $AD$ y considera un punto $P$ sobre $l$ y dentro del triángulo. Sea $G$ el punto donde la recta $BP$ corta al lado $AC$ y sea $F$ el punto donde la recta $CP$ corta al lado $AB$. Muestra que $BF = CG$.
Teorema de Pitágoras
Un triángulo de lados $a, b, c$, con $c > a, b$ es triángulo rectángulo sí y sólo si $c^2 = a^2 + b^2$.
Triángulo rectángulo -enunciado
Considere un triángulo rectángulo con longitudes a, b y c, la hipotenusa es de longitud c, sea r la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. Demuestre que r es igual a la mitad de a+b-c.
QUINTO EXAMEN SELECTIVO
Problema 1 Dado un triángulo acutángulo ABC se trazan las circunferencias c1 de diámetro AB y c2 de diámetro BC y se ubican las intersecciones M y N y P y Q de las alturas CC’ y BB’ (vistas como rectas) con c1 y c2, respectivamente. Demostrar que los puntos M, N, P y Q pertenecen a una misma circunferencia.
Método "Busca donde hay luz"
Encontrar todas las tripletas de enteros (a,b,c) tales que el producto de dos de ellos más el tercero sea la unidad (o sea el 1).
Ecuaciones funcionales
Resolver las siguientes ecuaciones funcionales.
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Encontrar $p(x)$ de tal manera que $p(x+1)=p(x)+2x+1$.
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Encontrar $f(x)$ de tal manera que $f(x+1)=x^2-3x+2$.
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Lo mismo para $$ f(\frac{x+1}{x})=(\frac{x^2+1}{x^2})+1/x $$
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$f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)$.
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Para $x>0$, $f(xy)=xf(y)+yf(x)$.
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$f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x$.
Fórmulas de Vieta
Encontrar todas las soluciones del siguiente sistema de tres ecuaciones en tres incógnitas.
IMO 2004, problema 2
Encuentre todos los polinomios $P(x)$ tales que
$$P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)$$
para todo $a, b, c$ reales que satisfacen que $ab+bc+ca=0$.
Soluciones de una cuadrática
Sean $x_1$ y $x_2$ dos soluciones distintas de la ecuación cuadrática:
$Ax^2+Bx+C=0$
Demuestra que $$ (x_1-x_2)^2 = \frac{(B/2)^2 -AC}{A^2} $$
