1. El residuo que deja 80 al dividir entre un número entero positivo n es 4 ¿cuál es residuo que deja 155 al dividirlo entre n?

2.En un círculo de centro O y radio 5k, se traza un cuadrado. Uno de sus lados es cuerda de la circunferencia y el lado opuesto a la cuerda pasa por el centro O. Calcular la longitud del lado del cuadrado en términos de k. 

3. Para un entero positivo n factorial de n (denotado con n!) es n!=(n)(n-1)(n-2)...(3)(2)(1). Encontrar el menor entero positivo (distinto de 1) que no divide a 69!

4. Si a y b son dígitos (elementos del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}) encontrar el número de fracciones a/b menores que 1. 

5. En el triángulo ABC los lados AC y BC son iguales. Un punto D en el lado BC es tal que los triángulos ABD y ACD son isósceles. Si AD=AB ¿cuánto mide el ángulo en B?

6. Si p^2+7p^2=7, con p entero positivo, encontrar el valor de p+1/p.

7. Encontrar el máximo entero positivo n que no se puede expresar en la forma n=4x+5y, con x,y enteros positivos.

8. Demostrar que si k,n son enteros positivos sin divisores en común (k,n primos relativos), entonces el máximo entero positivo que no se puede expresar como suma de múltiplos de k y m es mn-m-n.

9.Ana fue a McAllen el fin de semana con sus papás. Éstos le regalaron dimes (10 centavos) y quarters (25 centavos). Si los dimes fuesen qurters y los quarters fueran dimes Ana tendría un dollar y 5 centavos de dollar mennos de lo que ahora tiene. ¿Cuál es la diferencia entre dimes y querters que tiene Ana?

10. Sobre el lado AB del cuadrado ABCD, se traza un triángulo equilátero externo ABE. Calcular la medida del ángulo AED.

11. Calcular el radio del incírculo de un triángulo cuyos lados miden 3,4,5.

12. Encontrar el residuo la división de a+b+c entre b, donde a,b,c son primos y cumplen la ecuación 2009=a^b(c).

13. Dos circunferencias de radios 9 y 4 son tangentes exteriormente. Encontrar la longitud de su tangente común.

14. Dos circunferencias de radios R y r son tangentes exteriormente. Encontrar la longitud de su tangente común en términos de los radios.

15. Una recta en el plano cartesiano pasa por el punto (3,0) y es tangente al círculo de centro en el origen de coordenadas y radio 1. Encontrar el punto en que corta el eje vertical (de ordenadas).

16. Un piso rectangular está cubierto de mosaicos cuadrados. Tomando como unidad de longitud el lado de un mosaico, el piso tiene dimensiones 45 de largo y 20 de ancho. Si se traza una diagonal de una esquina a la opuesta del piso ¿cuántos mosaicos cuza la diagonal?

17. Un lote de galletas tiene dos tipos: con almendras, con chocolate y con los dos ingredientes. Se encontró que 3/10 tienen almendras, 1/2 tienen chocolate, y 3/28 tienen ambos ingredientes. Sin embargo se encontró que 172 galletas no tienen ninguno de los dos ingredientes. ¿Cuántas galletas son en total?

18. ¿Cuántos números de tres dígitos abc son tales que al multiplicar los dígitos se obtiene un producto mayor que 60 pero menor que 65.

19. Un triángulo rectángulo isósceles con lados iguales de medida 2 ha sido recortado de una hoja de papel que es gris de un lado y cuadriculada del otro. El triángulo se dobla de tal manera que el vértice C coincide con un punto C' sobre el lado BC. Si el área cuadriculada que queda hacia arriba es igual al área gris ¿cuánto es la distancia BC'?

20. El número 2009 se puede expresar como suma de n enteros impares consecutivos (n>=2) en varias formas. ¿Cuál es el menor valor posible de n?

21. Los puntos medios L,M,N,O de los lados QR,RS,SP,PQ de un cuadrado PQRS se unen con los vértices de éste con un segmento de recta de tal manera que se forme un cuadrado P'Q'R'S'. Calcular la razón de áreas de los dos cuadrados.

22. La ecuación x^2+bx+2=0 tiene solamente una raíz. Determinar los valores de b.

23. Encontrar todas las soluciones en enteros positivos de la ecuación 1/x+1/y+1/z=1.