En este post voy a discutir dos problemas razonados que, según la reforma de secundarias 2011, los alumnos que pasan a tercer año deberían estar en posibilidad de resolverlos. Su modelación conduce a un sistema $2\times2$ (dos ecuaciones, dos incógnitas).
Idealmente están al alcance de un adolescente de 14, pues en el bloque V del programa de matemáticas de segundo de secundaria, uno de los aprendizajes esperados es:
Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Puesto que el bloque V es el último, y ya el año escolar se acabó (los profes ya deben estar llenando el cuadro de concentración de calificaciones), un niño de 14 debería haber adquirido --en teoría-- las competencias necesarias para resolverlos.
Los programas de matemáticas de secundaria, según la reforma 2011, se pueden descargar en este link [1]. (Hay que descargar la guía para el maestro.)
Los problemas
Beto tiene el doble de la edad que Sara tenía cuando Beto tenía la edad que ahora tiene Sara. Si la suma de las edades de Sara y Beto es 28 años, calcular sus edades.
Un club social de juniors y seniors tiene 15 miembros. Si hubiese 7 juniors más y 3 seniors más, la razón de juniors a seniors sería de 2/3 (2 juniors por cada 3 seniors). ¿Cuántos juniors tiene el club social?
Comentarios y soluciones
1. Problema de edades
--El verdadero problema es traducirlo a símbolos. Pues el enunciado es complejo: es casi imposible procesarlo sin lápiz y papel.
--Analizando el enunciado, hay que darse cuenta, en primer lugar, que se hace referencia a un tiempo anterior ("cuando Beto tenía la edad que ahora tiene Sara"), y que Beto es mayor que Sara.
--Digamos que ese momento del pasado fue hace $d$ años. Entonces, Beto le lleva $d$ años a Sara.
Solución al problema de edades
Sean $b,s$ las edades de Beto y Sara, respectivamente, y $d=b-s$ la diferencia de sus edades. Entonces, el modelo es el siguiente:
$$b=2(s-d)$$
$$b+s=28$$
Pero $d=b-s$. Entonces $b=2s-2d=2s-2b+2s=4s-2b$. Así que el sistema de ecuaciones es equivalente a
$$3b=4s$$
$$b+s=28$$
Y, bueno, ahora lo que se tiene que hacer es resolver el sistema. Por sustitución --lo que parece más natural-- se obtiene la ecuación:
$$4s/3+s=28$$
Y se llega a que $s=12$. Por tanto, $b=16$. La respuesta es entonces que Sara tiene 12 y Beto 16.
2. Problema del club social
--La dificultad de este problema es también su modelación. En particular porque el concepto de razón hay que tenerlo claro.
--Si en el problema de edades el elemento disruptor (el que mete ruido y dificulta la modelación) era la consideración de un tiempo anterior, en este problema del club social lo que mete ruido en el razonamiento es el de razón (de cantidades en una mezcla).
Solución al problema del club social
Sean $j,s$ las cantidades de juniors y seniors, respectivamente, en el club social. Entonces, el modelo es el siguiente:
$$j+s=15$$
$$\frac{j+7}{s+3}=\frac{2}{3}$$
Y, bueno, lo que sigue es álgebra. Según mis cálculos, el club social tiene 12 seniors y 3 juniors.
Otras soluciones
Para el problema de edades, no es tan difícil ver que la diferencia de edades juega un papel central. Así que, si llamamos $d=b-s$ a esa diferencia, es relativamente fácil de ver que hace $d$ años Beto tenía la edad que ahora tiene Sara ($b-d$) y Sara tenía $b-2d$ años. Por tanto, $b=2(b-2d)$. Es decir, $b=4d$.
Por otro lado, resolviendo el sistema $b+s=28, b-s=d$ se obtiene que $2b=28+d$. Así que $8d=28+d$ y se ve que $d=4$. De ahí el resultado.
Para el problema del club, se tiene que 2 juniors por cada 3 seniors es equivalente a decir que, bajo la hipótesis de ingreso, 2/5 son juniors y 3/5 son seniors. Pero, serían 25. De ahí que la composición sería de 10 juniors y 15 seniors. Eliminando los que hipotéticamente ingresaron se tiene la respuesta: 3 juniors y 12 seniors.
Epílogo
Dejando de lado el hecho de que mi interpretación del aprendizaje esperado por la SEP es quizá excesiva (alguien quizá diría "¡bájale! que no estamos es China"), lo que se ve en estos dos problemas es que su solución no depende tanto de saber resolver un sistema $2\times2$ --lo cual habría que saber, por supuesto-- sino de otras competencias que son muy difíciles de enseñar.
Una de ellas es la lectura de textos. Y con ello quiero decir, extraer la información del texto que no se encuentra en la superficie. (Que Beto es mayor que Sara no se lee en el enunciado sino que se infiere de él.)
Esas habilidades se adquieren con la práctica y el interés en adquirirlas. El estudiante que las valora, que siente que es bueno para él apropiárselas, las aprenderá tarde o temprano --a condición de que sus compañeros y su familia también las valoren.
Dicho esto, no es difícil concluir que la probabilidad de que el estudiante las adquiera es muy baja --si es que uno conoce nuestro sistema educativo mexicano y su cultura de simulación.
Parafraseando la célebre frase sobre el Windows, se podría decir que
en la educación mexicana el fracaso no es una opción... ya viene en el paquete SEP-sindicato.
(Disclaimer: esto no es un juicio de valor sino algo que se manifiesta en los exámenes.)
Los saluda
jmd
PD: Invito a los lectores de MaTeTaM a que resulevan los siguientes
Ejercicios
1.Beto tiene el doble de la edad que Sara tenía cuando Beto tenía la edad que ahora tiene Sara. Si la suma de las edades de Sara y Beto es 36 años, calcular sus edades.
2. Un club social de juniors y seniors tiene 15 miembros. Si hubiese 3 juniors más y 7 seniors más, la razón de juniors a seniors sería de 2/3 (2 juniors por cada 3 seniors). ¿Cuántos juniors tiene el club social?
3. Un gato persigue a un conejo. Inicialmente se encuentran a 160 metros uno del otro. Por cada 9 metros que corre el gato, el conejo salta 7. ¿Cuánto debe correr el gato para atrapar al conejo?