Notación sumatoria e instancias de uso

Quizá una de las razones por las que no se enseña la notación sumatoria en la escuela, y se espera hasta el cálculo o hasta la estadística descriptiva en el bachillerato o la universidad, es porque antes no se necesita. Es muy útil cuando se necesita saber si una serie infinita converge --y el tema de las series infinitas es del cálculo. Pero se puede abordar antes del cálculo, en el tema de sucesiones aritmética y geométrica y sucesiones recursivas, a lo cual puede seguir el de ciertos trucos para resolver ecuaciones de recurrencia elementales como la transformada Z.

Algunas propiedades de la notación sumatoria

1. Sumar n veces el 1: $$\sum_{i=1}^{n} {1} = 1 + 1 + 1 + ... + 1 =n$$
(Es obvio.. pero una vez que ya está uno familiarizado con la notación sumatoria.) Debe interpretarse así: la sucesión que se está sumando es $a_i=1$, es decir, todos sus términos son iguales a la unidad; así que cada vez que sumo un término, sumo el 1.

2. Sumar n veces una constante c: $$ \sum_{i=1}^{n} c = c + c + c + ... + c =nc$$

De aquí se deriva la propiedad  $\sum_{i=1}^{n} ca_i = c\times \sum_{i=1}^{n} a_i$

Y esta otra: $$ \sum_{i=1}^{n} {c+ba_i} = nc + b\times\sum_{i=1}^{n} a_i$$

Instancia de uso:

$$\sum_{i=1}^{1000}{4 + 3i} =\sum_{i=1}^{1000}{4} + \sum_{i=1}^{1000}{3i }=1000\times{4}+3\times \sum_{i=1}^{1000}i $$

Otra instancia de uso:

$$\sum_{i=1}^{2000} {(i-3)^2}= \sum_{i=1}^{2000} {(i^2 - 6i + 9)}$$ $$=\sum_{i=1}^{2000} {i^2}-\sum_{i=1}^{2000}{6i}+\sum_{i=1}^{2000}{9}$$

$$= \sum_{i=1}^{2000}{i^2}-6\times\sum_{i=1}^{2000}{i}+\sum_{i=1}^{2000}{9}$$

Algunas fórmulas conocidas en notación sumatoria:

1. Suma de los primeros naturales: $$\sum_{i=1}^{n} i = 1 + 2 + 3 + ... + n= \frac{ n(n+1)}{2} $$
2. Suma de los primeros cuadrados perfectos: $$\sum_{i=1}^{n} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2= \frac{ n(n+1)(2n+1)}{6}$$
3. Suma de los primeros cubos perfectos: $$\sum_{i=1}^{n} i^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3=\frac { n^2(n+1)^2}{4}$$

Instancia de uso
$$\sum_{i=10}^{80} {i^3 + i^2 }$$

$$= \sum_{i=10}^{80}{ i^3} + \sum_{i=10}^{80}{ i^2}$$

$$\qquad \textrm{Advertencia: ! la suma empieza en 10!}$$

$$= \sum_{i=1}^{80} {i^3} - \sum_{i=1}^{9}{i^3} + \sum_{i=1}^{80}{i^2}-\sum_{i=1}^{9}{i^2}$$

$$=\sum_{i=1}^{80}{i^3}-\sum_{i=1}^{9}{i^3} + \sum_{i=1}^{80}{i^2}-\sum_{i=1}^{9}{i^2}$$

$$=\frac{80^2(80+1)^2}{4}-\frac{9^2(9+1)^2}{4} +\frac{80(80+1)(160+1)}{6}-\frac{9(9+1)(18+1)}{6}$$

$$=\frac{80^2(80+1)^2}{4} - \frac{ 9^2(9+1)^2}{ 4 }+ \frac{ 80(80+1)(160+1)}{ 6 } - \frac{ 9(9+1)(18+1)}{6}$$

$$= 10,497,600 - 2025 + 173,880 - 285=10,669,170$$