Hola, me había faltado resumirles las clases, pasadas:
La clase del 26 de Mayo vimos la definición de subplano y demostramos que $PG(2, \mathbb{F})$ es un subplano de $PG(2, \mathbb{E})$ cuando $\mathbb{F}$ es subcampo de $\mathbb{E}$.
Además, vimos que si $\pi$ es un plano proyectivo finito de orden $n$ y $\pi'$ es un subplano de orden $m$. Entonces $n=m^2$ o $n \geq m^2 + m$.
Para ello fue necesario repasar la definición de orden de un plano proyectivo finito.
Para la case del 27 vimos cuál puede ser la cardinalidad de un campo finito. De hecho, demostramos que para todo campo finito $\mathbb{F}$ existe un número primo $p$ tal que la cardinalidad de $\mathbb{F}$ es $p^k$ para algun entero $k$.
Para esto fue necesario recordar la definición de característica de un campo $\mathbb{F}$. Después, utilizamos que dado un subcampo $\mathbb{E}$ de $\mathbb{F}$, podemos construir el espacio vectorial $(\mathbb{F}, \mathbb{E})$ donde los elementos de $\mathbb{F}$ son los vectores y la multiplicación por escalar es dada por la multiplicación con elementos de $\mathbb{E}$. Y denotamos la dimensión de este campo vectorial como $[\mathbb{F}: \mathbb{E}]$.
Además, vimos que el orden de plano proyectivo $PG(2, \mathbb{F})$ es la cardinalidad de $\mathbb{F}$, cuando $\mathbb{F}$ es un campo finito.
Saludos
Jesús