Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
P6. Un problema de excentros en la OMM
Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el excentro opuesto a $A$. La perpendicular a $AI$ por $I$ interseca a las rectas $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente. La circunferencia $\omega_b$ es tangente a $EF$ y $AB$ en $B$ de modo que está en el exterior del triángulo $AEF$. Análogamente, la circunferencia $\omega_c$ es tangente a $EF$ y $AC$ en $C$ de modo que está en el exterior del triángulo $AEF$. La recta $IB$ corta de nuevo a $\omega_b$ en $X$ y la recta $IC$ corta de nuevo a $\omega_c$ en $Y$.
Sea $\omega_a$ el excírculo del triángulo $AEF$ opuesto a $A$. Pruebe que la reflexión de $\omega_a$ respecto a $EF$ es tangente a $XY$
P5. Primos y potencias perfectas
Determina para cuales enteros positivos $n \geq 3$ existen $n$ números primos, no necesariamente distintos, $p_1, p_2, \dots , p_n$ tales que
$$p_1p_2+1, \ p_2p_3+1, \dots , p_{n-1}p_n+1, \ p_np_1+1$$
son todos potencias perfectas.
$Nota:$ una potencia perfecta es un número de la forma $a^k$ con $k \geq 2$ y $a, k$ enteros positivos.
P4. Las hormigas troll de Lalo
A Lalo le regalaron una red mágica, como la que se muestra en la figura. La red consta de 20 vértices unidos por algunas aristas. Lalo coloca, de una en una, hormigas en los vértices de la red. Las hormigas caminan sobre las aristas, y al hacerlo, la arista recorrida va desapareciendo. Lalo tiene $n$ hormigas y juega colocándolas de la siguiente manera:
P3. Los caminos ascendentes completos
Sea $n$ un entero positivo. Considera un tablero de $2 \times n$ dividido en cuadrados de $1 \times 1$. Cada cuadrado del tablero se etiqueta con un número distinto elegido de entre el $1$ al $2n$ elegido exactamente una vez.
Uno igual al del 2011 (P2)
Paralelas si y sólo si paralelas (P6)
Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de radios diferentes que se cortan en los puntos $A$ y $B$. Consideremos un punto $C$ sobre la recta $AB$ de modo que $B$ queda entre $A$ y $C$.
Sean $P$ y $Q$ puntos sobre $C_1$ y $C_2$, respectivamente, tales que $CP$ es tangente a $C_1$, $CQ$ es tangente a $C_2$, $P$ no está dentro de $C_2$ y $Q$ no está dentro de $C_1$.
La recta $PQ$ corta de nuevo a $C_1$ en $R$ y a $C_2$ en $S$, ambos puntos distintos de $B$.
Supongamos que $CR$ corta de nuevo a $C_1$ en $X$ y $CS$ corta de nuevo a $C_2$ en $Y$. Sea $Z$ un punto sobre la recta $XY$.
Muestra que $SZ$ es paralela a $QX$ si y sólo si $PZ$ es paralela a $RX$.
Cudarícula de lados $(2^n - 1)$ y $(2^n + 1)$ (P5)
Una cuadrícula con lados de longitudes $(2^n - 1)$ y $(2^n + 1)$ se quiere dividir en rectángulos ajenos con lados sobre líneas de la cuadrícula y con un número de cuadraditos de $1 \times 1$ dentro del rectángulo igual a una potencia de $2$.
Encuentra la menor cantidad de rectángulos en los que se puede dividir la cuadrícula.
Nota: El $1$ es considerado una potencia de $2$ pues $2^0 = 1$.
Número de dos dígitos divisible del 1 al 9 (P4)
Encuentra el menor entero positivo tal que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos y que es divisible entre cada uno de los números del $1$ al $9$.
Nota: Un ejemplo de un número que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos es el $2202022002$.
Un sistema de ecuaciones (P3)
Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Encuentra todas las soluciones $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de números reales que satisfacen el siguiente sistema de $n$ ecuaciones:
\[ \begin{aligned} a_1^2 + a_1 - 1 &= a_2, \\ a_2^2 + a_2 - 1 &= a_3, \\ &\ \vdots \\ a_{n-1}^2 + a_{n-1} - 1 &= a_n, \\ a_n^2 + a_n - 1 &= a_1. \end{aligned} \]Una recta que pasa por el ortocentro(P2)
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con sus vértices sobre la circunferencia $\mathcal C$.
Sea $l$ la recta tangente a $\mathcal C$ en el punto $A$. La circunferencia con centro $B$ y radio $BA$ intersecta a la recta $l$ en $D$ y a la recta $AC$ en $E$. Muestra que la recta $DE$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.
Nota: El ortocentro de un triángulo es el punto donde concurren las tres alturas del triángulo.
P1. Colinealidad en un P1???
Sea $ABCD$ un paralelogramo. La circunferencia de diámetro $BD$ corta a las rectas $AD$ y $DC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente distintos de $D$. La recta $EF$ interseca a $BA$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Demuestra que el centro de la circunferencia que pasa por los puntos $B, \ P$ y $Q$ está en la recta $BD$.
P6. Más de Desigualdades Tamaulipas
P5. Sobreexplotando la configuración del ortocentro con una concurrencia.
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ su ortocentro. Sea $\Omega$ el circunírculo de $BHC$. Las rectas $AH$ y $AC$ cortan a $\Omega$ en $D \neq H$ y $E\neq C$ respectivamente. Sea $F \neq D$ la segunda intersección de $CD$ con el circuncírculo de $AED$. Demuestra que $AF, \ BC$ y $DE$ concurren.
P4. La vaca saturno saturnita y su polígono de focos
P3. Paralelas con una tangente
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $H$ su ortocentro y $D$ el pie de altura desde $A$ a $BC$, de tal forma que $AH=HD$. Sea $\mathcal{Z}$ el circuncírculo de $BHC$. Sea $\ell$ la recta tangente a $\mathcal{Z}$ por $H$, de tal forma que $\ell$ corta a $AB$ en $S$ y a $AC$ en $T$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BH$ y $CH$ respectivamente. Demuestra que $SM$ es paralela a $TN$.
P2. Sam vs Hugo, monedas en fila
Sam y Hugo juegan con $n$ monedas, todas con $A$ en una cara y $S$ en la otra. Las monedas están puestas en fila sobre la mesa. Sam y Hugo se turnan. En su turno, Sam puede voltear una o más monedas, siempre que no voltee dos adyacentes; mientras Hugo elige exactamente dos monedas adyacentes y las voltea. Al comenzar el juego, todas las monedas muestran $A$. Sam juega primero y gana si todas las monedas muestran $S$ simultáneamente en cualquier momento. Halla todos los $n\geq 1$ con los que Hugo puede evitar que Sam gane.
P1. El regreso del piso, el ascenso del techo
6. Aplicación del EFR
5. Divisores cuadrados vs el doble
Sea $1=d_1<d_2<\dots<d_k=n$ todos los divisores del entero positivo $n$, donde $k\geq 5$. Determina si exsiste alguna $n$ que cumpla que $$2n=d_3^2+d_4^2+d_5^2$$
4. Un cuadrado mágico perfecto
Los números del 1 al 360 se reparten en 9 subconjuntos, de tal forma que la suma de cada subconjunto se coloca en un cuadrado de $3 \times 3$. ¿Será posible que el cuadrado de $3 \times 3$ sea un cuadrado mágico?