Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

6.- Punto ideal de semejanza

Enviado por Samuel Elias el 21 de Noviembre de 2022 - 13:57.

Encuentra todos los $n \geq 3$, tales que existe un polígon convexo de $n$ lados $A_1A_2 \dots A_n$, que tenga las siguientes características:

  • todos los ángulos internos de $A_1A_2 \dots A_n$ son iguales
  • no todos los lados de $A_1A_2 \dots A_n$ son iguales
  • existe un triángulo $T$ y un punto $O$ en el interior de $A_1A_2 \dots A_n$ tal que los $n$ triángulos $OA_1A_2$, $OA_2A_3$, $\dots$, $OA_{n-1}A_n$ son todos semejantes a $T$ 

NOTAS:

Problema

5.- Borrando divisores de un pizarrón

Enviado por Samuel Elias el 21 de Noviembre de 2022 - 13:42.

Sea $n > 1$ un entero positivo y sean $d_1 < d_2 < ... < d_m$ sus $m$ enteros positivos de manera que $d_1 = 1$ y $d_m = n$. Lalo escribe los siguientes $2m$ números en un pizarrón:

$d_1 , d_2 , ... , d_m , d_1 + d_2 , d_2 + d_3 , ... , d_{m-1} + d_m , N$

donde $N$ es un entero positivo. Después Lalo borra los números repetidos (por ejemplo, si un número repetido aparece 2 veces, el borrará uno de los dos). Después de esto, Lalo nota que los números en el pizarrón son precisamente la lista completa de divisores positivos de $N$. Encuentra todos los posibles valores del entero positivo $n$.

Problema

4.- También arquitectos

Enviado por Samuel Elias el 21 de Noviembre de 2022 - 13:32.

Sea $n$ un entero positivo. En un jardín de $n \times n$ cuyos lados dan al Norte, Sur, Este y Oeste se va a construir una fuente usando plataformas de $1 \times 1$ que cubra todo el jardín.

Ana colocará las plataformas todas a diferente altura. Después, Beto pondrá salidas de agua en algunas de las plataformas.

El agua de cada plataforma puede bajar a las plataformas contiguas (hacia el Norte, Sur, Este y Oeste) que tengan menor altura que la plataforma de donde viene el agua, siguiendo su flujo siempre que pueda dirigirse a plataformas de menor altura. El objetivo de Beto es que el agua llegue a todas las plataformas.

Problema

3.- Orquesta Matemática

Enviado por jesus el 18 de Noviembre de 2022 - 10:52.

Sea $n>1$ un entero y sea $d_1 < d_2 < \dots < d_m$ la lista completa de sus divisiores positivos, incluidos $1$ y $n$. Los $m$ instrumentos de una orquesta matemática se disponen a tocar una pieza musical de $m$ segundos, donde el instrumento $i$ tocará una nota de tono $d_i$ durante $s_i$ segundos (no necesariamente consecutivos), donde $d_i$ y $s_i$ son enteros positivos. Decimos que esta pieza tiene sonoridad $S = s_1 + s_2 + \cdots + s_m $.

Problema

2.- Ataque de torres en un tablero cúbico.

Enviado por Samuel Elias el 12 de Noviembre de 2022 - 22:00.

Sea $n$ un entero positivo. David tiene 6 tableros de ajedrez de $n \times n$ que ha dispuesto de manera que formen las 6 caras de un cubo de $n \times n \times n$. Se dice que dos casillas $a$ y $b$ de este nuevo tablero cúbico están alineadas si podemos conectarlas por medio de un camino de casillas $a = c_1, c_2, \dots, c_m = b$ de manera que cada pareja de casillas consecutivas en el camino comparten un lado, y los lados que la casilla $c_i$ comparte con sus vecinas son lados opuestos del cuadrado $c_i$, para $i = 2, 3, \dots, m-1$. Diremos que dos torres colocadas sobre el tablero se atacan; si las casillas que ocupan están alineadas. David coloca algunas torres sobre el tablero de forma que ninguna ataque a otra.

Problema

1.- Números Tlahuicas

Enviado por Samuel Elias el 12 de Noviembre de 2022 - 21:31.

Un número $x$ es Tlahuica si existen números primos distintos $p_1, p_2 \dots, p_k$ tales que

$$x= \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + ... + \frac{1}{p_k}$$

Determina el mayor número Tlahuica que satisface las dos propiedades siguientes:

  1. 0 < < 1
  2. existe un número entero $0 < m \leq 2022$ tal que $mx$ es un entero.

Problema

El 6 del último selectivo 2022

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 07:57.

Se definen las sucesiones xy ymediante las siguientes reglas:

  • x= 2, x= 5, xn+1 = xn + 2xn-1
  • y0 = 3, y1 = 4, yn+1 = yn + 2yn-1

​Demuestra que no hay números que estén en ambas sucesiones.

Problema

Sin miedo al factorial

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 07:53.

Determina el menor entero positivo n tal que para todo entero positivo u se cumple que  n + u!  sea un número de al menos 4 divisores

Problema

Isósceles en 2 circunferencias de mismo radio

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 07:51.

Sean α y β dos circunferencias con el mismo radio. Dichas circunferencias se intersectan en puntos P y Q. Sea X un punto en α. La recta QX intersecta a β en un punto Z, de manera que Z queda entre X y Q. Demuestra que PX=PZ.

Problema

Paralelogramo con solo 3 vértices en una circunferencia

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 07:42.

Sea ABCD un paralelogramo. Sean K y L las intersecciones del circuncírculo de ABC con los lados AD y CD respectivamente. Sea M el punto medio del arco KL que no contiene a B. Demuestra que DM es perpendicular a AC.

Problema

Múltiplos de 9 con restricciones

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 07:37.

¿Cuántos múltiplos de 9 menores que 1000 no usan ningún digito menor que 3?

Problema

Promedio de un colección de m números

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:53.

a) Demuestra que si a una colección de m números le agregamos su promedio, la nueva colección de m+1 números tendrá el mismo promedio.
b) Demuestra que el promedio de una colección de m números es menor o igual a su número más grande, y mayor o igual a su número más pequeño. 

Problema

El 6 del estatal 2022

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:24.

En una circunferencia Γ con centro en D se trazan dos tangentes AE y AF con E y F sobre Γ. Sean B y C puntos sobre los segmentos AE y AF respectivamente de tal manera que BC también es tangente a Γ. Sea J la intersección de BD con EF. Demuestra que el ángulo CJB es un ángulo recto. 

Problema

Problema 5 Estatal 2022

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:21.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos (x,n) tales que:

(3)(2x) + 4 = n2

Problema

Matrimonios en una mesa

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:18.

A una cena llegan 3 matrimonios. Se quieren sentar alrededor de una mesa redonda de manera que nadie quede junto a su pareja. ¿De cuántas formas se pueden acomodar si Ana ya tiene un lugar asignado fijo?

Problema

El 3 del estatal 2022

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:15.

Encuentra todos los valores para de tal forma que la expresión 

6n+1

sea un número con todos sus dígitos iguales.
 

Problema

Juego con una bolsa de 2022 piedras

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:11.

Julieta y Edwin juegan al siguiente juego. Se empieza con una bolsa que contiene 2022 piedras. Se juega por turnos alternados y cada jugador puede hacer lo siguiente:

  • Si el número de piedras en la bolsa es par, el jugador puede tomar una piedra o la mitad de las piedras.
  • Si el número de la bolsa es impar, tiene que tomar una sola piedra.

Gana quien tome la última piedra. Julieta empieza el juego. 

Determina quién tiene una estrategia ganadora y explícala.

Problema

Mesa hexagonal con mantel rectangular

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:06.

Carlos tiene una mesa en forma de hexágono regular y un mantel rectangular con área 2022 que cubre un rectángulo de la mesa formado por exactamente dos lados paralelos de la mesa como bases del rectángulo. ¿Cuál es el área de la mesa?

Problema

El difícil de la segunda ronda (el 4)

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:02.

Tenemos 16 mosaicos que tienen dos cuartos de circunferencia centradas en esquinas opuestas cuyo radio es la mitad del lado de la baldosa como se muestra:

Problema

Pon a prueba tu vista

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 16:55.

En el trapecio ABCD de bases AB y CD, las diagonales AC y BD son perpendiculares entre sí. Los Segmentos AB y BD miden 20 m y 17 m respectivamente. El área del triángulo ABD es 102 m2. ¿Cuántos metros mide el lado CD?