Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
P4. Suma inversa vs Media inversa
P3. ¿Se podrá huir al infinito, y más allá?
P2. Ternas pitagóricas de números primos
Encuentra todas las ternas de números primos $p, \ q, \ r$ tales que $$p^2+q^2=r^2$$
P1. Un p1 de Geo
Sea $ABCD$ un cuadrado. Sea $E$ un punto en el plano fuera de $ABCD$ de tal forma que el triángulo $AEB$ es equilatero. Los segmentos $AB$ y $EC$ se cortan en $P$. Calcula la medida de los ángulos $\angle APC$ y $\angle CEB$ para demostrar que $$\frac{\angle APC}{\angle CEB} = 7 $$
C. Razonamiento Geométrico
Observe la siguiente figura. Sea $ABC$ un triángulo. Sea $D$ un punto en el plano opuesto a $B$ tal que el triángulo $ ADC$ es equilátero. Sean $E,F$ puntos en el plano opuestos a $C$ tales que $AEFB$ es un cuadrado. Suponiendo que $E,A,C$ son colineales y $A$ es el punto medio de $EC$, encuentra el valor del ángulo $\angle EDA$. Posteriormente, justifica intuitivamente por qué es posible trazar una circunferencia que pase por los puntos $B, C, D, E$.
B. Tres números, al menos tres soluciones distintas.
Ana está pensando en un número primo $p$ que satisface la siguiente propiedad: $p-10,p$ y $p+10$ son números primos. Encuentra todos los posibles números en los que está pensando Ana.
A. El juego más aburrido de la historia
7. El regreso de los números capicúas y la restricción de s(n)
- Ninguno de sus dígitos es un 0.
- La suma de sus dígitos debe ser igual a 13.
6. Productos que se cancelan.
5. Un sistema de ecuaciones con proporciones
En la clase de matemáticas del Sr. Adolfo, hay $H$ niños y $M$ niñas, de tal forma que $\frac{H}{M}=\frac{2}{3}$. Además, se sabe que $M-H=6$. ¿Cuántos alumnos tiene el Sr. Adolfo en total? En otras palabras, calcule el valor numérico de $M+H$.
4. Clásico de áreas sombreadas
En la siguiente figura, $ABCD$ es un paralelogramo. Sea $E$ el pie de altura desde $B$ (es decir, $E$ es un punto sobre $AD$ tal que $BE$ es perpendicular a $AD$). Calcula el área sombreada $BCDE$.
3. Divisores múltiplos de 4
¿Cuántos divisores del 36 son también múltiplos de el 4?
2. Un acertijo de números primos
Encuentra el menor entero positivo $n$ que no sea primo, tal que $n-2$ sí sea un número primo.
1. El regreso del concurso regional
Calcula el área del polígono $ABCDEF$.
8. Un laberinto de espejos y su rasho láser
Sea $n$ un entero positivo impar. Un $laberinto \ de \ espejos$ es un tablero de $n \times n$ casillas, con paredes de cristal, donde en cada casilla se coloca un espejo de doble cara en una de las dos diagonales posibles. Dado un laberinto de espejos, apuntamos un láser a una de sus paredes exteriores y el láser entra horizontalmente o verticalmente al laberinto. Si el láser choca con un espejo, siempre choca en el punto medio y se refleja $90^\circ$ según la orientación del espejo.
7. Desigualdades triviales no tan triviales
Sean $x,y,z$ números reales positivos tales que $xy+yz+zx=3$. Demuestra que $$\frac{x^2+y^2}{z} + \frac{y^2+z^2}{x} + \frac{z^2+x^2}{y} \ge 6$$
6. El regreso del gravicentro a la Olimpiada de Matemáticas
Sea $ABC$ un triángulo y sean $X, Y, Z$ puntos en los rayos $BC$ (con origen en $B$), $CA$ (con origen en $C$) y $AB$ (con origen en $A$), respectivamente, tales que $BC=CX$, $CA=AY$, y $AB=BZ$. Demuestra que las medianas de $ABC$ y las medianas de $XYZ$ se cruzan todas en el mismo punto.
Nota: Un rayo es una línea que comienza en un punto fijo (llamado origen) y se extiende indefinidamente en una sola dirección).
5. Defendiendo al pueblo del dragón
Una guerrera, con ayuda de un pueblo, atacará a un dragón durante 2026 días. Cada día se realiza exactamente una de las siguientes acciones:
- Atacar: Cada guerrera le hace 1 punto de daño al dragón.
- Entrenar: Exactamente una pueblerina entrena y se convierte en guerrera. Ninguna guerrera ataca ese día.
El daño total es la suma del daño hecho a lo largo de los 2026 días. El pueblo cuenta con inicialmente a una guerrera. ¿Cuál es la máxima cantidad de puntos de daño total que puede recibir el dragón?
4. Acotando al fallo con la función s(n)
Para un número entero positivo $n$, sea $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$, por ejemplo $s(12)=1+2=3$. Halla todas las tripletas de enteros mayores que cero $(a, b, c)$ tales que
$$s(a+b)=c, \ s(b+c)=a, \ s(c+a)=b$$
3. Árboles de Tejocootes en La Malinche
En el Parque Nacional "La Malinche", hay 2026 árboles enumerados del 1 al 2026 y 2026 ardillas enumeradas del 1 al 2026, cada una con algunos tejocotes. En el $k$-ésimo minuto, la ardilla que tiene el número $k$ va a hacer lo siguiente:
- Elige sus $k$ árboles $favoritos$, de entre los cuales elige un solo árbol donde esconde $k$ tejocotes.
- En los demás $k-1$ árboles $favoritos$, esconde 1 tejocote por árbol.
¿De cuántas maneras pueden las 2026 ardillas esconder sus tejocotes si al final de los 2026 minutos todos los árboles tienen la misma cantidad de tejocotes escondidos?