Experto

Nivel para la gente que ha tenido preparación para los internacionales de Matemáticas o que simplemente es muy hábil para resolver problemas.
Problema

Problema 4 - IMO 2022 - Un cíclico a partir de un pentágono

Enviado por jesus el 20 de Julio de 2022 - 10:19.
Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC = DE$. Supongamos que existe un punto $T$ en el interior de $ABCDE$ tal que $TB = TD$, $TC = TE$ y $\angle ABT = \angle TEA$. La recta $AB$ corta a las rectas $CD$ y $CT$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Supongamos que los puntos $P$ , $B$, $A$, $Q$ aparecen sobre su recta en ese orden. La recta $AE$ corta a las rectas $CD$ y $DT$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Supongamos que los puntos $R$, $E$, $A$, $S$ aparecen sobre su recta en ese orden. Demostrar que los puntos P , S, Q, R están en una misma circunferencia
Problema

P3 IMO 1993 - Tablero de ajedrez infinito

Enviado por jesus el 3 de Julio de 2022 - 12:52.

Sobre un tablero de ajedrez infinito se juega de la siguiente manera:

Al principio hay $n^2$ fichas dispuestas sobre el tablero en un cuadrado de $n\times n$ de casillas adyacentes, con una ficha en cada casilla. Cada jugada es un salto de una ficha en dirección horizontal o vertical sobre una casilla adyacente, ocupada por otra, hasta una no ocupada, contigua a ella. La ficha sobre la que se ha saltado se retira. Halle los valores de $n$ para los que el juego puede terminar quedando una única ficha en el tablero.

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Problema 6 - IMO 2016 - Malfalda silba y las ranas saltan

Enviado por jesus el 12 de Julio de 2016 - 21:57.

Se tienen $n \geq 2$ segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se intersecan en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar sobre él una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará $n -1$ veces. En cada silbido, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos. Mafalda quiere colocar las ranas de tal forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección.

Problema

Problema 5 - IMO 2016 - Quita términos lineales de ambos lados

Enviado por jesus el 12 de Julio de 2016 - 21:52.

 En la pizarra está escrita la ecuación $$(x - 1)(x - 2)\cdots (x - 2016) = (x -1)(x- 2)\cdots (x-2016)$$ que tiene 2016 factores lineales en cada lado. Determinar el menor valor posible de $k$ para el cual pueden borrarse exactamente $k$ de estos 4032 factores lineal, de modo que al menos quede un factor en cada lado y la ecuación que resulte no tenga soluciones reales.

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Problema 4 - IMO 2016 - Conjunto de enteros fragantes

Enviado por jesus el 12 de Julio de 2016 - 21:42.

Un conjunto de números enteros positivos se llama fragante si tiene al menos dos elementos, y cada uno de sus elementos tiene algún factor primo en común con al menos uno de elementos restantes. Sea $P(n) = n^2 + n + 1$.  Determinar el menor número entero positivo $b$ para el cual existe algún número entero no negativo $a$ tal que el conjunto $$\{P(a+1), P(a+2), \dots,  P(a + b)\}$$ es fragante.

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Problema 3 - IMO 2016 - Área de un polígono cíclico de coordenadas enteras.

Enviado por jesus el 11 de Julio de 2016 - 14:06.

Sea $P=A_1A_2 \dots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices $A_1, A_2, \dots, A_k $ tienen coordenadas enteras y están sobre un círculo. Sea $\mathcal{S}$ el área de $P$. Los cuadrados de las los lados de $P$ son todos divisibles por un entero dado $n$. Demuestra que $2\mathcal{S}$ es divisible por $n$,

Traducido del inglés.

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Problema 2 - IMO 2016 - Las letras de IMO en un tablero

Enviado por jesus el 11 de Julio de 2016 - 11:42.

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los que en cada casilla de un tablero de $n \times n$ puede escribir una de las letras $I$, $M$ y $O$ de manera que:

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Problema 1 - IMO 2016 - Concurrencia de rectas

Enviado por jesus el 11 de Julio de 2016 - 11:21.

El triángulo $BCF$  tiene ángulo recto en $B$. Sea $A$ el punto en la línea $CF$ tal que $FA = FB$ y $F$ se encuentra entre $A$ y $C$. El punto $D$ está elegido de tal manera que $DA= DC$ y $AC$ es la bisectríz de $\angle DAB$. El punto $E$ es tal que $EA=ED$ y $AD$ es la bisectríz de $\angle EAC$. Sea $M$ el punto medio de $CF$. Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo (donde $AM \parallel EX$ y $AE \parallel MX$). Demuestra que las líneas $BD$, $FX$ y $ME$ son concurrentes.

Traducido del inglés.

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P5. IMO 2014 - Monedas fraccionarias

Enviado por jesus el 9 de Julio de 2014 - 10:28.

Para cada entero positivo $n$, el Banco de Ciudad del Cabo produce monedas de valor $\frac{1}{n}$. Dada una colección finita de tales monedas (no necesariamente de distintos valores) cuyo valor total no supera $99 + \frac{1}{2}$, demostrar que es posible separar esta colección en 100 o menos montones, de modo que el valor total de cada montón sea como máximo 1.

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P3. IMO 2014 - Demuestra que es tangente

Enviado por jesus el 9 de Julio de 2014 - 10:17.

En el cuadrilátero convexo $ABCD$, se tiene $\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}$. La perpendicular a $BD$ desde $A$ corta a $BD$ en el punto $H$. Los puntos $S$ y $T$ están en los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, y son tales que $H$ está dentro del triángulo $SCT$ y
$$\angle CHS - \angle CSB = 90^{\circ},\quad \angle THC - \angle DTC = 90^{\circ}$$.
Demostrar que la recta $BD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $TSH$.

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