Geometría

Problema

P6. Razones entre cíclicos dobles y pies de perpendicular.

Enviado por Samuel Elias el 14 de Junio de 2025 - 02:57.

Sea $ABCD$ un cuadrilatero cíclico y $E$ el punto de intersección de sus diagonales. La circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $BEC$ corta a la recta $AB$ en $F$ y a la recta $CD$ en $G$. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ sobre la recta $BC$ y sea $Q$ el pie de la perpendicular desde $B$ sobre la recta $AD$. Demuestra que:

$$\frac{AF}{DG}=\frac{AP}{BQ}$$

Problema

P3. Ortocentros obtusángulos y colinealidad

Enviado por Samuel Elias el 13 de Junio de 2025 - 21:19.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno con $\angle BAC = 90^{\circ}$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. La recta perpendicular a $AM$ por $M$ intersecta a las rectas $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $H_1, H_2$ los ortocentros de los triángulos $CMP$ y $BMQ$ respectivamente. Demuestra que $H_1H_2$ pasa por $A$.

NOTA: el ortocentro es la intersección de las tres alturas. 

Problema

P3. DANI el ciclico

Enviado por Samuel Elias el 13 de Junio de 2025 - 00:18.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle CAB =90 ^ {\circ}$ e incentro $I$. Las bisectrices de $\angle C$ y $\angle B$ intersecan a $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente, e intersecan a la perpendicular de $BC$ por $A$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $D$ y $N$ los puntos medios de $PE$ y $QF$ respectivamente. 

  1. Demuestra que los puntos $D, \ A, \ N, \ I$ están sobre una circunferencia.
  2. Demuestra que $DN$ es paralela a $BC$
Problema

P4. Cuarta concurrencia en un ortocentro

Enviado por Samuel Elias el 10 de Noviembre de 2024 - 17:59.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y sea $M$ un punto del segmento $BC$. La recta por $M$ y perpendicular a $BC$ corta a las rectas $BH$ y $CH$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Muestra que la recta $AM$ pasa por el ortocentro del triángulo $HPQ$.

Problema

P3. Hexágono, puntos medios, dodecágono, estrella

Enviado por Samuel Elias el 10 de Noviembre de 2024 - 17:55.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo y sean $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ los puntos medios de $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ respectivamente. Se construyen los puntos $A_2, B_2, C_2, D_2, E_2, F_2$ en el interior de $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ tales que:

  • El dodecágono $A_2A_1B_2B_1C_2C_1D_2D_1E_2E_1F_2F_1$ tiene sus 12 lados iguales
  • $\angle A_1B_2B_1 + \angle C_1D_2D_1 + \angle E_1F_2F_1 = \angle B_1C_2C_1 + \angle D_1E_2E_1 + \angle F_1A_2A_1 = 360$°, donde todos los ángulos son menores a 180°

Demuestra que $Α_2B_2C_2D_2E_2F_2$ es cíclico. 

Problema

P5. Dos circunferencias, una perpendicular.

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 15:12.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $\omega$ su circuncírculo. Sea $\Gamma$ un círculo con centro $A$ de forma que corta al arco $AB$ que no contiene a $C$ de $\omega$ en un punto $D$ y al arco $AC$ que no contiene a $B$ de $\omega$ en un punto  $E$. Sea $K$ la intersección de $BE$ con $CD$ de tal forma que $K$ esté sobre $\Gamma$. Demuestra que $AK$ es perpendicular a $BC$.

Problema

1.- Aprovecha el radio con isósceles.

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:40.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $ABC=60$° y sea $O$ su circuncentro de tal forma que $CBO=45$°. La recta $BO$ corta al segmento $AC$ en $D$. Demuestra que el triángulo AOD es isósceles y encuentra la medida de sus ángulos.  

Problema

P4. Razones de semejanza estatales

Enviado por Samuel Elias el 14 de Septiembre de 2024 - 13:21.
 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle ABC=90$. Sea $U$ un punto cualquiera sobre $AC$. Sean $D$ y $E$ puntos sobre $AB$ y $BC$ de tal forma que $\angle EUD=90$. Se traza un segmento perpendicular a $AC$ desde $D$ y el punto de intersección se llama $F$. Asímismo, se traza un segmento perpendicular a $AC$ desde $E$, y el punto de intersección es $G$. Demuestra que: 
    $$\frac{AF}{FU}=\frac{GU}{CG}$$
Problema

P5. Calcula el área del cudrilátero DHEO

Enviado por jesus el 13 de Junio de 2024 - 11:44.

Se tiene el triángulo acutángulo $ABC$. El segmento $BC$ mide 40 unidades. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $O$ su circuncentro. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ y $E$ el pie de la altura desde $B$. Además el punto $D$ parte al segmento $BC$ de manera que $\frac{BD}{DC} = \frac{3}{5}$. Si la mediatriz del segmento $AC$ pasa por el punto $D$, calcula el área del cuadrilátero $DHEO$.

Nota: El ortocentro es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. El circuncentro es el centro del círculo que pasa por los tres vértices del triángulo.

Problema

P3. Triángulo, Altura y punto en Mediatriz.

Enviado por jesus el 12 de Junio de 2024 - 13:39.

Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Sea $M$ un punto tal que $MB = MC$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones del circuncírculo de $BMD$ y $CMD$ con $AD$. Sean $G$ y $H$ las intersecciones de $MB$ y $MC$ con $AD$. Demuestra que $EG = FH$

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