Geometría
Dos segmentos iguales
Se tiene un triángulo agudo; en el cual existen dos círculos con diámetros AB y BC. Sean los puntos E y F donde cortan dichos círculos al otro respectivo lado. Se construyen las rectas AE y CF y los puntos P y Q donde ellas cortan a los círculos
Demostrar que BQ = BP
alturas de un paralelogramo y areas
Un paralelogramo ABCD tiene el angulo en D obtuso. Desde D se bajan perpendiculares a AB y BC, las cuales cortan a estos lados en M y N respectivamente. Si DB=DC=50 y DA=60 encontrar DM+DN.
alturas de un paralelogramo y areas
Un paralelogramo ABCD tiene el ángulo en D obtuso. Desde D se bajan perpendiculares a AB y BC, las cuales cortan a estos lados en M y N respectivamente. Si DB=DC=50 y DA=60 encontrar DM+DN.
Ubicación del ortocentro con una sola altura
Sean AB cuerda de una circunferencia y P un punto en AB tal que AP=2PB. Sea DE la cuerda perpendicular a AB que pasa por P. Demostrar que el punto medio Q de AP es el ortocentro del triángulo ADE.
Solución de una cuadrática (Problema 3, regiones 2008)
Sea dado un segmento AB de longitud b. Por B se levanta una perpendicular a AB, y sobre ella se fija un punto O tal que BO=a/2. Se traza a continuación la circunferencia de centro O y radio a/2. La recta AO corta en P y Q a la circunferencia (P más cerca de A que Q). Si llamamos x a la longitud de AP, explicar por qué y cómo esta construcción resuelve la ecuación cuadrática $x^2+ax=b^2$. (Nota: de hecho sólo obtiene la raíz positiva de la ecuación, si es que existe.)
ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 6
En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD. Se sabe que el centro del círculo inscrito en el triángulo BCD coincide con el centro del círculo circunscrito del triángulo ABC. Calcular los ángulos del triángulo ABC.
ONMAS 2008, Nivel 1, Problema 2
Sean G una circunferencia de centro O y G’ una circunferencia que pasa por O. Sean A y B los puntos en que G interseca a G’ y escojamos un punto C en G’ distinto de A y B. Tracemos las líneas AC y BC y llamemos D y E a los puntos donde estas líneas cortan a G, respectivamente. Demuestra que AE es paralela a DB.
Longitud Mínima
Sea ABC un triángulo y P un punto que se mueve sobre la recta que contiene al lado BC. Consideremos M y N los pies de las perpendiculares trazadas desde P sobre los lado AB y AC respectivamente. Encuentra el punto P para el cual MN tiene longitud mínima.
Longitud mínima - caso particular
Sean $ABC$ un triángulo rectángulo en $ A $, y $ P $ un punto móvil en la hipotenusa $ BC $.
El Tesoro Pirata
En el mapa está un roble, un pino y un mezquite. Las instrucciones son: camina desde el mezquite hacia el pino, gira a la izquierda en ángulo recto, camina la misma distancia que hay del mezquite al pino, y clava ahí una estaca X; después regresa al mezquite, camina hacia el roble, gira a la derecha en ángulo recto, camina la misma distancia que hay entre el roble y el mezquite, y clava ahí una estaca Y. El tesoro está enterrado en el punto medio del segmento XY. ¿Qué hacer si el mezquite ha desaparecido?
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