Lugar geométrico

Se considera en el plano una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ y un punto $A$ exterior a ella. Sea $M$ un punto de la circunferencia y $N$ el punto diametralmente opuesto a $M$. Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por $A, M$ y $N$ al variar $M$.

Un punto $P$ es interior al triángulo equilátero $ABC$ y cumple que el ángulo APC es de 120 grados. Sean $M$ la intersección de $CP$ con $AB$ y $N$ la intersección de $AP$ con $BC$. Hallar el lugar geométrico del circuncentro del triángulo $MBN$ al variar $P$.

Dadas dos circunferencias $M$ y $N$, decimos que $M$ biseca a $N$ si la cuerda común es un diámetro de $N$. Considere dos circunferencias fijas $C_1$ y $C_2$ no concéntricas.

• a) Pruebe que existen infinitas circunferencias $B$ tales que $B$ biseca a $C_1$ y $B$ biseca a $C_2$.
• b) Determine el lugar geométrico de los centros de las circunferencias $B$.

Sea dado un segmento fijo $AB$ y considérense todos los paralelogramos $ABCD$ formados con el lado $AB$. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $P$ la proyección de $A$ sobre la recta $DM$. Determinar el lugar geométrico descrito por $P$ al mover el lado $CD$.

 En un triángulo $ABC$, los puntos $M$ en $CA$ y $N$ en $BC$ se mueven de tal manera que $AM=BN$. Describir el lugar geométrico del punto medio $P$ de $MN$.

Construir un triángulo dados un lado, la altura de uno de los vértices del lado dado (respecto a uno de los otros dos), y el radio de la circunferencia circunscrita.

Dado un triángulo equilátero $ABC$, encuentra todos los puntos $P$ del plano que cumplan $\angle{APB} = \angle{BPC}$.

Considere dos puntos fijos $B$ y $C$ de una circunferencia $W$. Encuentre el lugar geométrico de las intersecciones de las bisectrices de los triángulos $ABC$, cuando $A$ es un punto que recorre $W$.

Considere dos rectas $\ell$ y $\ell'$ y un punto fijo P que diste lo mismo de $\ell$, que de $\ell'$. ¿Qué lugar geométrico describen los puntos M que son proyección de P sobre AB, donde A está en $\ell$, B está en $\ell'$, y el ángulo APB es recto.