Álgebra

Sea $n \ge 4$ un entero. Encuentra todas las sucesiones de números reales $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ tales que satisfacen simultáneamente las siguientes ecuaciones: \[ x_1^3 + x_2 = x_2 x_3 + 1, \] \[ x_2 + x_3 = x_3 x_4 + 1, \] \[ \vdots \] \[ x_n^3 + x_1 = x_1 x_2 + 1. \]

Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Encuentra todas las soluciones $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de números reales que satisfacen el siguiente sistema de $n$ ecuaciones:

\[ \begin{aligned} a_1^2 + a_1 - 1 &= a_2, \\ a_2^2 + a_2 - 1 &= a_3, \\ &\ \vdots \\ a_{n-1}^2 + a_{n-1} - 1 &= a_n, \\ a_n^2 + a_n - 1 &= a_1. \end{aligned} \]

Sean \( A \) y \( B \) matrices de tamaño \( n \times n \) con entradas complejas. Demostrar que existen una matriz \( T \) y una matriz invertible \( S \) tales que \[ B = S(A + T)S^{-1} - T \]

Sean $a$ y $b$ enteros positivos y $c$ un número real positivo tal que $$\frac{a+1}{b+c}=\frac{b}{a}$$

Demuestra que $c \geq 1$.

 

Un divisor propio de un entero positivo $N$ es un divisor positivo de $N$ distinto de $N$.

La sucesión infinita $a_1, \ a_2, \dots$ está formada por enteros positivos, cada uno con al menos 3 divisores propios. Para cada $n \geq 1$ el entero $a_{n+1}$ es la suma de los tres mayores divisores propios de $a_n$.

Determina todos los valores posibles de $a_1$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Una función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ se llama $genial$ si

$$f(a) | b^a-f(b)^{f(a)}$$

Para todos los enteros positivos $a, b$.

Determine la menor constante real $c$ tal que $f(n) \leq cn$, para todas las funciones $geniales \ f$ y todos los enteros positivos $n$.

Sea $n$ un entero positivo. Se numeran los renglones y las columnas de una cuadrícula de $n \times n$ del 1 al $n$. Dentro de cada cuadrito se escribe un entero no-negativo de manera que el entero escrito en el cuadrito del renglón $i$ y la columna $j$ es igual a la cantidad de cuadritos que tienen escrito el producto $i \cdot j$. Determina de cuántas maneras se puede hacer esto.