(CIIM P5, 2013) Matrices y conjugación

Una dirección es trivial, ya que la traza es aditiva y es invariante bajo conjugación:

Para el regreso es lo complicado, que la matriz $S$ y $T$ existen si $tr(A) = tr(B)$.

Observemos que el enunciado se traduce a que existe $T$ tal que $A + T$ y $B+T$ son conjugados.

Pero si tal $T$ existe para $A$ y $B$, entonces deberá existir una para la pareja $A+X$ y $B+X$ para cualquier $X$. Usando $X=-B$, cambiamos $B$ por la matriz cero.

Quedando el enunciado, para toda matriz $A$ de traza 0, existe $T$ tal que $A+T$ y $T$ son conjugados.

Para probar esto, usaremoe el hecho, de que las matrices tienen entradas complejas y que por lo tanto es triangulanizable (es decir, es conjugada a una matriz triangular). Y si $UAU^-1$ tiene una matriz $T$ también lo tendrá $A$ como se muestra a continuación.

Si existe $T$ tal que $UAU^{-1} + T$ es semejante a $T$, entonces existe $Q$ invertible tal que: \begin{eqnarray*} UAU^{-1} + T &=& QTQ^{-1} \\ A + U^{-1}TU &=& U^{-1}QTQ^{-1}U \\ &=&(U^{-1}QU) (U^{-1}TU)(U^{-1}QU)^{-1}& \end{eqnarray*} Probando que $A + U^{-1}TU$ y $ U^{-1}TU$ serán conjugados.

Ahora, sólo faltaría demostrar que para toda matriz triangular de traza cero $M$, existe una matriz $T$ tal que $M+T$ y $T$ son conjugadas.

De hecho, demostraremos que esta matriz $T$ puede tomarse diagonal.

Entonces, para que el resultado sea cierto, $M+T$ deberá ser diagonalizable. Entonces, una manera de lograrlo es haciendo que todos los valores propios de $M+T$ sean distintos entre sí e iguales a los de $T$, bajo una permutación.

Sean pues $m_i$ las entradas de la diagonal de $M$ y sea $t_i$ los elementos de la diagonal de $T$ (todas sus entradas no cero).

Queremos demostrar que es posible encontrar valores $t_i$ (distintos entre sí) tales que $m_i+t_i = t_{\rho(i)}$ donde $ \rho$ es una permutación de $\{1, 2, \dots, n\}$. Ya que $t_{\rho(i)}$ terminarán siendo los valores propios de $M+T$, una permutación de los valores propios de $T$, por los tanto serán matrices conjugadas.

Para demostrar la existencia de las $t_i$, demostraremos su existencia para una permutación de los valores fijos $m_i$.Recordemos que como la traza es cero, se tendrá que $m_1+m_2+\dots+m_n=0$.

Observemos primero que podemor reordenar los números $m_i's$ para que las sumas parciales $S_k = m_1+m_2 + \dots + m_k$ sean no negativas para toda $k$. Basta con tomar el valor $l$ que $S_l$ es lo más pequeños posible. Luego permutámos cícliamente los índices $m'_i = m_{l+i \pmod{n}}$ y ya las sumas serán no negativas. Ésto gracias a que: \begin{eqnarray*} S'_k &=& m'_1 + m'_2 +\dots + m'_k \\ &=& m_{l+1} + m_{l+2} + \cdots + m_{l+k \pmod{n}}\\ &=& S_{l+k \pmod{n}}- S_{l}& \end{eqnarray*} En la última identidad, observar de que $S_{n+k} = a_1+a_2+ \dots + a_n + a_1+ \dots+ a_k = S_k$ ya que $a_1 + \dots + a_{n} = 0$.

Luego, si alguna de éstas sumas parciales es cero, podemos particionar los los elementos $m_i$ en subconjuntos más pequeños donde cada suma parcial es positva: $m_1+m_2 + \dots + m_k > 0$ para $k=1, \dots, n-1$ .

Ahora bien, si alguna de las sumas parciales son iguales, $S_k = S_l$ para k

Entonces, basta resolver en el caso de que los $m_i's$ suman cero ys sus sumas parciales son todas disntintas

Enonces tomando $t_i = S_{i-1}+ h$ se logra el cometido, tomando $h$ ualquier valor. Se logra que $m_i + t_i = m_i + S_{i-1} + h = S_{i+1}+h = t_{i+1}$. Con las condiciones en las sumas parciales, todos estos $t_i$'s son números positivos disntos. Y como tenemos un parámetro $h$ libre, podemos hacerlos disintos entre las distintas particiones que logramos de las $m_i$'s.