Álgebra

Sea $n$ un número par. Cada número entero del $1$ al $n$ se colorea de azul o rojo. Sean $x_1 < x_2 < \dots < x_k$ todos los números rojos y $y_{k+1} < y_{k+2} < \dots < y_n$ todos los números azules para algún $0 \le k \le n$. De entre todas las maneras de colorear dichos enteros determina el menor valor que puede tomar la expresión $1x_1 + 2x_2 + \cdots + kx_k + (k+1)y_{k+1} + \cdots + ny_n$ y demuestra que existe una única manera de colorear los enteros para la cual se alcanza dicho mínimo.

En un tablero de $8\times 8$ se escriben los números del $1$ al $64$ en el orden habitual: en la primera fila aparecen $1,2,\dots,8$; en la segunda, $9,10,\dots,16$; y así sucesivamente hasta la octava fila, que contiene $57,58,\dots,64$. Para cada número del tablero se elige un signo: o bien se deja tal como está, o bien se cambia por su opuesto.

En un torneo tipo $\textit{liga}$, hay $n$ jugadores que pueden únicamente ganar o perder (no hay empates). Sea $w_i$ el número de partidas que ganó el jugador $i$ y sea $l_i$ el número de partidas que perdió, para toda $1\le i \le n$. Demuestra que: $$w_1^2+w_2^2+ \dots + w_n^2 = l_1^2+l_2^2 + \dots + l_n^2$$

Nota: un torneo de liga es un torneo donde todos los jugadores juegan contra todos los demás exactamente una vez. Por ejemplo, la fase de grupos del mundial es un torneo de liga.

En la clase de matemáticas del Sr. Adolfo, hay $H$ niños y $M$ niñas, de tal forma que $\frac{H}{M}=\frac{2}{3}$. Además, se sabe que $M-H=6$. ¿Cuántos alumnos tiene el Sr. Adolfo en total? En otras palabras, calcule el valor numérico de $M+H$.

Sean $x,y,z$ números reales positivos tales que $xy+yz+zx=3$. Demuestra que $$\frac{x^2+y^2}{z} + \frac{y^2+z^2}{x} + \frac{z^2+x^2}{y} \ge 6$$

Una guerrera, con ayuda de un pueblo, atacará a un dragón durante 2026 días. Cada día se realiza exactamente una de las siguientes acciones:

• Atacar: Cada guerrera le hace 1 punto de daño al dragón.
• Entrenar: Exactamente una pueblerina entrena y se convierte en guerrera. Ninguna guerrera ataca ese día.

El daño total es la suma del daño hecho a lo largo de los 2026 días. El pueblo cuenta con inicialmente a una guerrera. ¿Cuál es la máxima cantidad de puntos de daño total que puede recibir el dragón?

Para un número entero positivo $n$, sea $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$, por ejemplo $s(12)=1+2=3$. Halla todas las tripletas de enteros mayores que cero $(a, b, c)$ tales que

$$s(a+b)=c,   \  s(b+c)=a,   \  s(c+a)=b$$