7. Desigualdades triviales no tan triviales

Al parecer, en el mismo concurso descubrimos que la desigualdad $(x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+xz)$ es un hecho conocido. Entonces, como $xy+yz+xz=3$, tenemos que $x+y+z \geq 3$. Por la desigualdad útil, tenemos que:

$$\sum_{cyc} \frac{x^2+y^2}{z} \geq \frac{(2(x+y+z))^2}{2(x+y+z)}=2(x+y+z) \geq 6$$