A la gran hechicera le encantan los cubos y está por jugar un juego. Comienza con un cubo de lado $1$ y otro de lado $x$ (donde $x$ > $1$). En cada turno, la hechicer realiza los siguientes dos encantamiento, uno después del otro:
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Prismificar: Tranformar el cubo de menor tamaño en una prisma que conserva su base original, pero cuya altura se estira hasta tener exactamente el volumen del cubo mayor.
- Cubificar: Tranformar el prisma que recién creado en un nuevo cubo, cuyo lado será igual a la altura del prisma.
Encunetra la medida del lado que tendrá el cubo de mayor tamaño después de $2026$ turnos.
Mi sol. es algo técnica, pero
Mi sol. es algo técnica, pero igualmente funciona.
Primero, tenemos que demostrar que un cubo nunca es elejido 2 veces seguidas o más. Para ello, hagamos 4 casos.
El turno 0 es cuando tenemos al cubo de volumen 1 y al de volumen $x^3$. Entonces, encanta al primero, por lo que la altura se extiende hasta tener un valor de $x^3$, pues así el primer cubo también tiene un volumen de $x^3$. Después, se cubifica en un cubo de volumen $x^9$. Observe que así, el primer cubo tiene más volumen que el segundo, por lo que ahora la hechicera encanta al segundo cubo. Esto quiere decir que su altura tiene que ser de $x^7$ (recordar que $Vol. = Área_{base} \cdot h$), por lo que el nuevo cubo es de $x^{21}$. Entonces vuelve a ser turno del primer cubo, que en el tercer cubo se convierte en uno con volumen $x^{45}$. Entonces vuelve a ser turno del segundo cubo, que en el cuarto turno pasa a ser un cubo de volumen $x^{93}$. Observe que por tamaños, se cumple esta alternancia.
Sea $n$ un entero positivo impar. Nótese que el volumen del cubo de mayor tamaño en el turno $n$ es $x^{a_n}$ y este volumen corresponde al primer cubo (al de inicialmente lado 1). Por lo que en el turno $n+1$, el volumen del cubo de mayor tamaño es de la forma $x^{b_{n+1}}$. Esto quiere decir que $a_n$ y $b_{n+1}$ son los exponentes del volumen del primer y segundo cubo respectivamente. Por el hecho de que la hechicera nunca elige al mismo cubo dos o más veces seguidas, entonces $a_k=a_{k-1}$ y $b_{k+1}=b_k$. Por argumentos geométricos y por la fórmula del volumen del cubo, nótese que:
$$a_n=3(b_{n-1}+\frac{2}{3}a_{n-2})$$
$$b_{n-1}=3(a_{n-2}+\frac{2}{3}b_{n-3})$$
Como los volúmenes iniciales son 1 y $x^3$, entonces $a_0=0$ y $b_0=3$. Si expandimos y luego, sumamos todas las sucesiones (primero hasta el $n$ y luego hasta el $n+1$), se obtienen las siguientes sucesiones:
$$b_{n+1}=2a_n+b_0$$
$$a_n=2b_n-1+3$$
$$\vdots$$
$$a_1=2b_0+3$$.
Si hacemos una sustitución masiva, llegamos a que $$b_{n+1}=2^{n+1}b_0+3 \sum_{i=0}^n 2^n$$
Como $b_0=3$, entonces $$b_{2026}=3(2^{2026}+2^{2026}-1)=3(2^{2027}-1)$$
Sacando raíz cúbica, llegamos a la respuesta $l_{2026}=x^{2^{2027}-1}$.