Sea $ABC$ un triángulo y sean $X, Y, Z$ puntos en los rayos $BC$ (con origen en $B$), $CA$ (con origen en $C$) y $AB$ (con origen en $A$), respectivamente, tales que $BC=CX$, $CA=AY$, y $AB=BZ$. Demuestra que las medianas de $ABC$ y las medianas de $XYZ$ se cruzan todas en el mismo punto.
Nota: Un rayo es una línea que comienza en un punto fijo (llamado origen) y se extiende indefinidamente en una sola dirección).
Solución de
Solución de Yasuriana:
Procedemos por complejos. Recordemos que en Complex Bashing, la convención es que la letra mayúscula $A$ se usa para llamar al número complejo $a$ que es de la forma $a=x+yi$. Entonces, dado el plano complejo, sea $A=a$, $B=b$, $C=c$, $X=x$, $Y=y$, y $Z=z$. Sabemos, de igual forma, que los números complejos satisfacen lo siguiente:
Como $A$, $B$, $C$ son los puntos medios de $YC$, $AZ$, $BX$ respectivamente, entonces se satisface que:
$$a=\frac{y+c}{2} \iff y=2a-c$$
$$b=\frac{a+z}{2} \iff z=2b-a$$
$$c=\frac{b+x}{2} \iff x=2c-b$$
Sea $G$ el gravicentro de $ABC$, por lo que $g=\frac{a+b+c}{3}$. Sea $G'$ el gravicentro de $XYZ$, por lo que $g'=\frac{x+y+z}{3}$. Recordemos que en el gravicentro concurren las tres medianas de un triángulo. Como tenemos valores de $x, y, z$ en términos de $a, b, c$, entonces:
$$g'=\frac{x+y+z}{3}=\frac{2c-b+2a-c+2b-a}{3}=\frac{c+a+b}{3}=g $$
Eso quiere decir que $G=G'$ son el mismo punto, por lo que los dos triángulos tienen el mismo gravicentro, y por tanto las 6 medianas concurren en el mismo punto.