Problema 8 Geometrense

Ayer organisando un poco unas cosas, me tope con los regla y compas del año pasado, y en uno de ellos nos publicaban el problema 8 del concurso geometrense..."geometria pesada" segun las palabras de Jesus. Asi que pense que seria una buena idea hacer el problema. AL ver la figura la idea fue clara....Polos y polares!!!! bueno para los que no los conocen (yo no los conocia hasta que leei una recopilacion de articulos de matematicas de Hong Kong que me presto el profesor Muñoz) les dare aqui un poco de ellos resolviendo el problema...el problema sale en 10 minutos o menos...sabiendo que herramientas usar segun Alvaro...y asi es efectivamente se cumple.

Comenzando con la solucion. Sea D y E los pies de las perpendiculares de B y C sobre AC y AB respectivamente, de ahi es claro que $\angle{BDC}=90=\angle{BEC}$ por lo que D y E estan en la circunferencia de diametro BC, y ademas H es la interseccion de las diagonales del cuadrilatero BCDE.(pero ese cuadrilatero es ciclico).....ahora bien...les pondre algunos teoremas de polos y polares asi como que es un polo y el polar.... Sea C una circunferencia de centro O. Y sea P un punto fuera de la circunferencia. El polar de P, se obtiene al trazar las tangentes a C, y unir los puntos de tangencia. Esa recta es el polar de P, asi mismo se dice que el polo de dicha recta es P. Sea P' el punto en que el polar de P toca a OP, es claro que OP y el polar de P son perpendiculares....Bueno estos son algunos hechos de polo-polar....ahora pondre algunos teoremas... Teorema de La Hire: Sean x, y los polares de X,Y respectivamente, se cumple que X esta en y si y solo si Y esta en x. Si Observamos nuestra figura del problema, tenemos por todo lo que ya e dicho que PQ es polar de A y H esta en PQ si y solo si A esta en el polar de H por el teorema de La Hire. Ahora pondre algunos resultados inmediatos del teorema de La Hire. 1: Sean x, y, z los polares de distintos puntos X, Y, Z, respectivamente. Entonces Z=x*y si y solo si z=XY 2: Sean W, X, Y, Z cuatro puntos sobre C(la circunferencia). Entonces el polar p de P=XY*WZ esta en la linea QR con Q=WX*ZY y R=XZ*YW. donde * denota interseccion. De ello usando el segundo resultado tenemos que el polar de A esta sobre H=BD*CE y X=BC*DE, es decir H esta en el polar de A...pero el polar de A es PQ!!!!!! de ahi es claro que H esta sobre PQ como nos piden demostrar... Al parecer el problema de la geometrense si era de geometria pesada....polos y polares....no es un tema muy comun...pero si muy util

Se me olvido decir que los resultados que puse 1,2 son teoremas ya formalisados de polos y polares...y para su demostracion solo se requiere manejo del teorema de La Hire Bueno es el unico problema de la geometrense con el que cuento, pero jusgen como estaran los demas problemas. Saludos

Pentágono cíclico!! Sean D y E los pies de las alturas desde A y B respectivamente, sea O el centro de la circunferencia y sea H el ortocentro de ABC (claramente es la intersección de AD y BE) . Es inmediato que E está sobre la circunferencia y por potencia de un punto tenemos que AE•AC=AP*=AQ* (donde * sustituye al superíndice 2) . Pero otra vez por potencia de un punto en el claramente cuadrilátero cíclico EHDC tenemos que AE•AC=AH•AD y por tanto tenemos que AP*=AH•AD de donde obtenemos AP/AH=AD/AP de donde resulta que los triángulos AHP y APD son semejantes y entonces

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