Perpendiculares

Bueno el problema realmente esta demasiado sencillo aunque, como todo buen problema nesesita una idea buena. MMM un comentario o mas bien un teorema. Teorema: Para cuatro puntos R, S, X, Y en un plano, tenemos que $RX^2-SX^2=RY^2-SY^2$ si y solo si las rectas $RS$ y $XY$ son perpendiculares bueno creo uqe ese era el comentario o mas bien teorema. Saludos

Yo no le encuentro la "sencillez " al problema Pero bueno No soy Brandon; Mis Respetos a El [: Al intentar hacer el problema llegue a pequeñas conclusiones por asi decirles; A simple vista podriamos ver que el Problema Trata de Semejanza ya que debemos demostrar que (KM)(KN)=(IM)(IN) y de aqui obtendriamos las razones KM/IM=KN/IN y asi tendriamos que demostrar que el Triangulo KMN~IMN pero esto no es posible; no necesariamente (amo usar esa frase) . Ahora bien una idea que tambien tuve fue Usar potencia de punto; lo cual no me hizo llegar muy lejos pero creo qe no estoy tan lejos de la respuesta correcta; si; llamemos P y Q a los puntos de interseccion de KN y KM con la circunferencia respectivamente. Por potencia de punto tenemos que: (NP)(NK)=(NB)(NC)= (NB) (S) (MQ)(MK)=(MB)(MA)=(MB)(S) y bueno; aparte de una serie de ideas locas; no he llegado a nada; Muy buen Problema Brandon:] Saludos desde Reynosa; Sadhii

pues la sencillez esta en ver que lo que se pide demostrar es nada mas y nada menos que $KM^2-KN^2=IM^2-IN^2$ checa lo que habia puesto.. si logramos demostrar esa igualdad el problema esta resuelto....Como BK es diametro es facil ver que KA y KC son perpendiculares a AM y CN respectivamente.de ahi puesdes calcular las longitudes de KM y KN usando pitagoras. Si trazamos las perpendiculares a AM y AN desde I....esos puntos son los de tangencia del incirculo ...y de ahi usando pitagoras calculamos IM e IN,,,,y pues el resto es puro manejo de algebra...

Ahi te va sadhy!!!primero la figura.

Sean $D, E$ los puntos de tangencia del incirculo con los lados $AB, BC$ respectivamente,

Primero notemos que los triangulos $KNC, KMA, INE, IMD, BKC, BKA$ son rectangulos..por que?
de ahi las siguientes relaciones son faciles de ver(o provar)

$KN^2-KM^2=(KC^2+CN^2)-(KA^2+AM^2)=KC^2-KA^2$ por que  $AM=CN=s$

$AB^2-CB^2=(BK^2-KA^2)-(BK^2-KC^2)=KC^2-KA^2$ se empiesa a ver luz en el problema.....

$IN^2-IM^2=(NE^2+IE^2)-(MD^2-ID^2)=NE^2-MD^2$ por que $IE=ID$ por que pasa?

por otro lado $NE=AB$ y $MD=CB$ si no me cres demuestralo...

de ahi $IN^2-IM^2=NE^2-MD^2=AB^2-CB^2=KC^2-KA^2=KN^2-KM^2$

es decir $IN^2-IM^2=KN^2-KM^2$ y por el teorema que puse primero se sigue lo pedido...

el problema no es realmente dificil, solo rebuscado, pero conociendo el teorema es claro lo que nos piden (demostrar que $IN^2-IM^2=KN^2-KM^2$) pero para trabajar con ello nesesitamos perpendiculares, pero la pregunta era... de donde las sacamos? para ello se usaron los triangulos regtangulos...ya que otra manera de verlo es que tienen dos lados perpendiculares entre si!!!!!! bueno analisa la solucion que te pongo y completa lo que no puse como los por que? suerte saludos!!!!!

Gracias Brandon[:

siqesi[:

 

Bueno; los primeros dos porqués son muy Obvios; el Tercero no tanto; peroo con una buena explicacion; es muy Sencillo;

KNC es rectangulo en C ya que es un angulo inscrito en el arco BK que es Diametro de el Circuncirculo que contiene a ABC 

KMA es rectangulo en A; tambien es incrito del arco BK;

INE es recto en E ya que es un angulo Semiincrito;; IE es un Radio y EN Tangente;

IMD tiene su angulo recto en D; y es semiincrito; ID Radio DM Tangente

BKC es rectangulo en C ya que es un angulo inscrito en el arco BK que es Diametro de el Circuncirculo que contiene a ABC 

BKA es recto en A; con arco BK

 

El segundo porqé; si es que lo interprete bien;  IE=ID porque ambos son radios del incurculo de ABC[:

y Por ultimo; La demostracion de que NE=AB  y MD=CB

tenemos que

BD=BE

CE=CK

AD=AF, donde F es el punto tangente al circulo sobre AC

Ahora bien;  CF=CE=s-BC=AM-BC=NB y CF=CE=s-AB=AM-AB=BM

Entonces tenemos que NE=NB+BE y AB=AD+BD; como BE=BD y NB=AD entonces AB=NE

y MD=MB+BD y CB=CE+BE; como BE=BD y MB=CE; MD=CB

 

& listo[:

Gracias Brandon; Encerio qe si;