Este tipo de problemas resulta más fácil de resolverse usando geometría analítica. Sin embargo, una demostración sin el uso de estas técnicas algebraicas es gratificante para el intelecto. Veremos primero la demostración geométrica básica.
Consideremos un punto P que satisface la condición, y considere el punto Q que se encuentra sobre el pie de la altura del triángulo APB trazada desde P. Entonces, el punto Q se encuentra en la recta AB. Llamemos c a la constante.
Usando pitágoras se obtiene que PA2 = AQ2 + PQ2 y que BP2 = QB2 + PQ2.
Restando ambas desigualdades se obtiene que:
PA2 - BP2= AQ2 - QB2
Por lo tanto,
-
AQ2 - QB2 = c
Entonces, no importa dónde se encuentre este punto P, su proyección a la recta AB caerá sobre un punto Q que satisface la identidad 1).
Por último, si este punto Q es único, se tendrá que todos los puntos se encuentran sobre una recta perpendicular a AB que pasa por Q.
Para probar la unicidad de Q usarémos segmentos dirigidos y, con ello, ahorrarnos algunas explicaciones.
Supongamos que tenemos otro punto Q' en AB que satisface también la identidad 1). Entonces, es inmediata la identidad:
AQ'2 - Q'B2= AQ2 - QB2
Factorizando cuadrados:
(AQ' - Q'B)(AQ' + Q'B) = (AQ - QB)(AQ + QB)
Como, Q y Q' están en A,B se obtiene que:
(AQ' - Q'B)(AB) = (AQ - QB)(AB)
Es decir,
AQ' - Q'B = AQ - QB
Que es lo mismo que:
AQ'+Q'B - 2*Q'B = AQ+QB - 2*QB ⇒ AB - 2*Q'B = AB - 2*QB ⇒ - 2*Q'B = - 2*QB ⇒ Q'B = QB
Por lo tanto, Q = Q'.
Nota. Lo que nos ahorramos con los segmentos dirigidos fue tener que analizar por separado varios casos: cuando Q y Q' están dentro, fuera o en partes distintas del segmento AB.
