Intermedio

Sea $ABC$ un triángulo. La bisectriz del $\angle BAC$ corta al segmento $BC$ en $D$. Sean $E$ y $F$ puntos en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, tal que el cuadrilátero $FEBC$ es cíclico. Sea $G$ la intersección de los circuncírculos de $BED$ y $CFD$. Demuestra que $GF=GE$.

En un torneo tipo \textit{liga}, hay $n$ jugadores que pueden únicamente ganar o perder (no hay empates). Sea $w_i$ el número de partidas que ganó el jugador $i$ y sea $l_i$ el número de partidas que perdió, para toda $1\le i \le n$. Demuestra que: $$w_1^2+w_2^2+ \dots + w_n^2 = l_1^2+l_2^2 + \dots + l_n^2$$

Nota: un torneo de liga es un torneo donde todos los jugadores juegan contra todos los demás exactamente una vez. Por ejemplo, la fase de grupos del mundial es un torneo de liga.

Para un número entero positivo $n$, sea $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$, por ejemplo $s(12)=1+2=3$. Halla todas las tripletas de enteros mayores que cero $(a, b, c)$ tales que

$$s(a+b)=c,   \  s(b+c)=a,   \  s(c+a)=b$$

En el Parque Nacional "La Malinche", hay 2026 árboles enumerados del 1 al 2026 y 2026 ardillas enumeradas del 1 al 2026, cada una con algunos tejocotes. En el $k$-ésimo minuto, la ardilla que tiene el número $k$ va a hacer lo siguiente:

• Elige sus $k$ árboles $favoritos$, de entre los cuales elige un solo árbol donde esconde $k$ tejocotes.
• En los demás $k-1$ árboles $favoritos$, esconde 1 tejocote por árbol. 

¿De cuántas maneras pueden las 2026 ardillas esconder sus tejocotes si al final de los 2026 minutos todos los árboles tienen la misma cantidad de tejocotes escondidos? 

A la gran hechicera le encantan los cubos y está por jugar un juego. Comienza con un cubo de lado $1$ y otro de lado $x$ (donde $x$ > $1$). En cada turno, la hechicer realiza los siguientes dos encantamiento, uno después del otro:

A Lalo le regalaron una red mágica, como la que se muestra en la figura. La red consta de 20 vértices unidos por algunas aristas. Lalo coloca, de una en una, hormigas en los vértices de la red. Las hormigas caminan sobre las aristas, y al hacerlo, la arista recorrida va desapareciendo. Lalo tiene $n$ hormigas y juega colocándolas de la siguiente manera:

Encuentra el menor entero positivo tal que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos y que es divisible entre cada uno de los números del $1$ al $9$.

Nota: Un ejemplo de un número que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos es el $2202022002$.

Sea $ABCD$ un paralelogramo. La circunferencia de diámetro $BD$ corta a las rectas $AD$ y $DC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente distintos de $D$. La recta $EF$ interseca a $BA$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Demuestra que el centro de la circunferencia que pasa por los puntos $B, \ P$ y $Q$ está en la recta $BD$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ su ortocentro. Sea $\Omega$ el circunírculo de $BHC$. Las rectas $AH$ y $AC$ cortan a $\Omega$ en $D \neq H$ y $E\neq C$ respectivamente. Sea $F \neq D$ la segunda intersección de $CD$ con el circuncírculo de $AED$. Demuestra que $AF, \ BC$ y $DE$ concurren.

Sam y Hugo juegan con $n$ monedas, todas con $A$ en una cara y $S$ en la otra. Las monedas están puestas en fila sobre la mesa. Sam y Hugo se turnan. En su turno, Sam puede voltear una o más monedas, siempre que no voltee dos adyacentes; mientras Hugo elige exactamente dos monedas adyacentes y las voltea. Al comenzar el juego, todas las monedas muestran $A$. Sam juega primero y gana si todas las monedas muestran $S$ simultáneamente en cualquier momento. Halla todos los $n\geq 1$ con los que Hugo puede evitar que Sam gane.