Intermedio
6. Red vs Blue
Sea $n$ un número par. Cada número entero del $1$ al $n$ se colorea de azul o rojo. Sean $x_1 < x_2 < \dots < x_k$ todos los números rojos y $y_{k+1} < y_{k+2} < \dots < y_n$ todos los números azules para algún $0 \le k \le n$. De entre todas las maneras de colorear dichos enteros determina el menor valor que puede tomar la expresión $1x_1 + 2x_2 + \cdots + kx_k + (k+1)y_{k+1} + \cdots + ny_n$ y demuestra que existe una única manera de colorear los enteros para la cual se alcanza dicho mínimo.
5. Un tablero equilibrado
En un tablero de $8\times 8$ se escriben los números del $1$ al $64$ en el orden habitual: en la primera fila aparecen $1,2,\dots,8$; en la segunda, $9,10,\dots,16$; y así sucesivamente hasta la octava fila, que contiene $57,58,\dots,64$. Para cada número del tablero se elige un signo: o bien se deja tal como está, o bien se cambia por su opuesto.
3. Colinealidad en un cuadrilatero
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle ABC = \angle ADC$. Se consideran puntos $M$, $N$, $P$, $Q$ en los lados $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, respectivamente, tales que $MB = QD$ y $NB = PD$. Sean $R$, $S$, $T$ puntos medios de los segmentos $MQ$, $BD$, $NP$, respectivamente. Demuestre que $R$, $S$ y $T$ son colineales.
1. Porcentaje de divisores ≡d(mod10)
Sea d un dígito en base 10 (de 0 a 9). Un entero positivo n se dice d-bueno si más del 50% de sus divisores tienen como último dígito a d.
Determina para cuáles d existen infinitos n que sean d-buenos.
Problema lindo de cross ratio de una lista del javi
En el triángulo $ABC$, sean $I$ el incentro e $I_B$, $I_C$ los excentros correspondientes a $B$ y $C$ respectivamente. Sean $P_B$ el punto donde $BI$ corta a $AC$, y $P_C$ el punto donde $CI$ corta a $AB$. Demuestra que $AI$, $I_CP_B$ e $I_BP_C$ son concurrentes
4. Cuerdas iguales con un cíclico.
Sea $ABC$ un triángulo. La bisectriz del $\angle BAC$ corta al segmento $BC$ en $D$. Sean $E$ y $F$ puntos en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, tal que el cuadrilátero $FEBC$ es cíclico. Sea $G$ la intersección de los circuncírculos de $BED$ y $CFD$. Demuestra que $GF=GE$.
3. Suma de cuadrados en un torneo de liga
En un torneo tipo $\textit{liga}$, hay $n$ jugadores que pueden únicamente ganar o perder (no hay empates). Sea $w_i$ el número de partidas que ganó el jugador $i$ y sea $l_i$ el número de partidas que perdió, para toda $1\le i \le n$. Demuestra que: $$w_1^2+w_2^2+ \dots + w_n^2 = l_1^2+l_2^2 + \dots + l_n^2$$
Nota: un torneo de liga es un torneo donde todos los jugadores juegan contra todos los demás exactamente una vez. Por ejemplo, la fase de grupos del mundial es un torneo de liga.
4. Acotando al fallo con la función s(n)
Para un número entero positivo $n$, sea $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$, por ejemplo $s(12)=1+2=3$. Halla todas las tripletas de enteros mayores que cero $(a, b, c)$ tales que
$$s(a+b)=c, \ s(b+c)=a, \ s(c+a)=b$$
3. Árboles de Tejocootes en La Malinche
En el Parque Nacional "La Malinche", hay 2026 árboles enumerados del 1 al 2026 y 2026 ardillas enumeradas del 1 al 2026, cada una con algunos tejocotes. En el $k$-ésimo minuto, la ardilla que tiene el número $k$ va a hacer lo siguiente:
- Elige sus $k$ árboles $favoritos$, de entre los cuales elige un solo árbol donde esconde $k$ tejocotes.
- En los demás $k-1$ árboles $favoritos$, esconde 1 tejocote por árbol.
¿De cuántas maneras pueden las 2026 ardillas esconder sus tejocotes si al final de los 2026 minutos todos los árboles tienen la misma cantidad de tejocotes escondidos?
2. Prismificar y Cubificar
A la gran hechicera le encantan los cubos y está por jugar un juego. Comienza con un cubo de lado $1$ y otro de lado $x$ (donde $x$ > $1$). En cada turno, la hechicer realiza los siguientes dos encantamiento, uno después del otro:
