Intermedio
P4. Cuarta concurrencia en un ortocentro
Sea ABC un triángulo acutángulo con ortocentro H y sea M un punto del segmento BC. La recta por M y perpendicular a BC corta a las rectas BH y CH en los puntos P y Q, respectivamente. Muestra que la recta AM pasa por el ortocentro del triángulo HPQ.
P2. Divisores consecutivos
Determina todas las parejas de enteros (a,b) que satisfacen:
- 5≤b<a
- Existe un número natural n tal que los números ab y a−b son divisores consecutivos de n, en ese orden. Es decir, que no existe un divisor d de n tal que ab<d<a−b
P1. Rompecabezas especial
En la figura se, se muestran las 6 maneras distintas en que se puede colorear un cuadrado de 1×1 subdividido en 4 cuadritos de 12×12 con cuatro colores distintos (dos coloreados se consideran iguales si es posible rotar uno para obtener el otro). Cada uno de estos cuadrados de 1×1 se usará como pieza de un rompecabezas. Las piezas se pueden rotar, pero no reflejar. Dos piezas encajan si al unirlas por un lado completo, los cuadritos de 12×12 a ambos lados del lado por el que se unen son del mismo color (ver ejemplos). ¿Es posible armar un rompecabezas de 3×2 utilizando cada pieza exactamente una vez y de forma que todas las piezas adyacentes encajen?
P6. La lista de Germán
Sea n un entero positivo. Germán tiene una lista de n números enteros. Si suma todos sus números, obtiene 6. Si los multiplica, también obtiene 6. Encuentra todos los posibles valores para n.
P4. Ceros y Unos en un pizarrón.
- ¿Para qué valores de n te puede quedar un número par?
- ¿Para qué valores de n te puede quedar un número impar?
P2. Los monos de Daniel
Daniel tiene 1600 plátanos y 100 monos. Él va a repartir sus plátanos entre sus 100 monos (pero no de forma justa, algunos tendrán más plátanos que otros, incluso habrá monos que no reciban ningún plátano). Demuestra que al menos 4 monos tendrán la misma cantidad de plátanos.
3.- Los delegados de Tamaulipas jugando una modificación de ajedrez
Considera un tablero de ajedrez de 8×8. Orlando y Moisés juegan alternando turnos, comenzando por Orlando. Cada uno en su turno coloca un alfil en alguna casilla del tablero vacía, de tal forma que los alfiles no se ataquen entre sí. Pierde el jugador que coloque un alfil que sea atacado por otro previamente. Si los alfiles son del mismo color (es decir, o tienen puros alfiles blancos o puros alfiles negros), determina quién tiene una estrategia ganadora y descríbela.
Nota: un jugador puede atacarse a sí mismo.
P4. Razones de semejanza estatales
P3. Un fotógrafo amante de la combinatoria
P5. Calcula el área del cudrilátero DHEO
Se tiene el triángulo acutángulo ABC. El segmento BC mide 40 unidades. Sea H el ortocentro del triángulo ABC y O su circuncentro. Sean D el pie de la altura desde A y E el pie de la altura desde B. Además el punto D parte al segmento BC de manera que BDDC=35. Si la mediatriz del segmento AC pasa por el punto D, calcula el área del cuadrilátero DHEO.
Nota: El ortocentro es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. El circuncentro es el centro del círculo que pasa por los tres vértices del triángulo.
