Intermedio

Se tiene el triángulo acutángulo $ABC$. El segmento $BC$ mide 40 unidades. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $O$ su circuncentro. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ y $E$ el pie de la altura desde $B$. Además el punto $D$ parte al segmento $BC$ de manera que $\frac{BD}{DC} = \frac{3}{5}$. Si la mediatriz del segmento $AC$ pasa por el punto $D$, calcula el área del cuadrilátero $DHEO$.

Nota: El ortocentro es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. El circuncentro es el centro del círculo que pasa por los tres vértices del triángulo.

Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Sea $M$ un punto tal que $MB = MC$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones del circuncírculo de $BMD$ y $CMD$ con $AD$. Sean $G$ y $H$ las intersecciones de $MB$ y $MC$ con $AD$. Demuestra que $EG = FH$

Encuentra todos los números de 4 dígitos tales que la suma de los cuadrados de sus dígitos es igual al doble de la suma de sus dígitos.

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo, $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio de $BC$. La perpendicular a $MH$ por $H$ corta a $AB$ en $L$ y a $AC$ en $N$. Demuestra que $LH=HN$.

NOTA: El ortocentro es la intersección de las alturas del triáungulo. 

Un triángulo acutángulo es aquel que tiene sus 3 ángulos agudos.

Cada diagonal de un polígono regular de 2024 lados se va a pintar con un color, de manera que dos diagonales que se intersecten dentro del polígono sean de distinto color. ¿Cuál es el mínimo número de colores necesarios para cumplir esta tarea? 

Determina todas las parejas de enteros positivos $(p, k)$ con $p$ un número primo tales que:

$p^k-k^p=9k$

Se escojen 3 puntos diferentes en un circulo ¿Cuál es la probabilidad de que el triángulo formado por esos puntos contega el centro del círculo?

Determina todos los enteros compuestos $n >1$ que satisfacen la siguiente propiedad: 

Si $d_1, d_2, \dots, d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ con $1 = d_1 < d_2< \cdots< d_k = n$, entonces $d_i$ divide a $d_{i+1} + d_{i+2}$ para cada $1 \leq i \leq k-2$.

Mía tiene dos palitos verdes de 3cm cada uno, dos palitos azules de 4cm cada uno y dos palitos rojos de 5cm cada uno. Mía quiere formar un triángulo utilizando los seis palitos como su perímetro; todos a la vez y sin encimarlos, ni doblarlos o romperlos. ¿Cuántos triángulos no croncruentes puede formar?

Nota: Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen las mismas medidas. No importa el orden en que los palitos se usen para formar los lados, sólo la medida de los lados formados.