Intermedio

En la figura, $ABC$ es un triángulo isósceles con $|AB| = |AC|$; $D$ es un punto sobre $AC$ tal que $DB$ es perpendicular a $BC$; $E$ es un punto sobre la recta $BC$ tal que $|CE| = 2|BC|$ y $F$ es un punto sobre $ED$ tal que $FC$ es paralela a $AB$. Probar que la recta $FA$ es paralela a $BC$.

Un conjunto de $n$ números enteros positivos distintos es $\textit{equilibrado}$, si el promedio de cualesquiera $k$ números del conjunto es un número entero, para toda $1 \leq k \leq n$. Encuentra la mayor suma que pueden tener los elementos de un conjunto equilibrado, con todos sus elementos menores o iguales que 2017.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno con $\angle BAC = 60 ^\circ$ y ortocentro $H$. Sea $\omega_b$ la circunferencia que pasa por $H$ y es tangente a $AB$ en $B$, y $\omega_c$ la circunferencia que pasa por $H$ y es tangente a $AC$ en $C$.

• Prueba que $\omega_b$ y $\omega_c$ solamente tienen a $H$ como punto común
• Prueba que la recta que pasa por $H$ y el ortocentro $O$ de $ABC$ es tangente común a $\omega_b$ y $\omega_c$

Para cada entero positivo $n>0$ con expansión decimal $\over{a_1a_2\dots a_k}$ definimos $s(n)$ como sigue. Si $k$ es par, $s(n)= \overline{a_1a_2} + \overline{a_3a_4}+\cdots+ \overline{a_{k-1}a_k}$. Si $k$ es impar, $s(n)=a_1+ \overline{a_2a_3} +\cdots+ \overline{a_{k-1}a_k}$. Por ejemplo si $n=123$ entonces $s(n)=1+23=24$ y si $n=2021$ entonces $s(n)=20+21=41$. Decimos que $n$ es dígital si $n$ es múltiplo de $s(n)$. Muestra que entre cualesquiera 198 enteros positivos consecutivos , todos ellos menores que 2000021, hay uno de ellos que es dígital.

Los números positivos y distintos $a_1, a_2, a_3$ son términos en una progresión aritmética, y de la misma manera los números positivos y distintos $b_1, b_2, b_3$ son términos de una progresión aritmética. ¿Es posible usar tres segmentos de longitudes $a_1, a_2, a_3$ como bases y otros tres segmentos con longitudes $b_1, b_2, b_3$ como alturas (en algún orden), para construir rectángulos de la misma área?

En un tablero de ajedrez de $2017 \times 2017$, se han colocado en la primera columna 2017 caballos, uno en cada casilla de la columna. Una tirada consiste en elegir dos caballos distintos y de manera simultánea moverlos como se mueven los caballos de ajedrez. Encuentra todos los posibles valores enteros de $k$ con $1\leq k \leq 2017$, para los cuales es posible llegar a través de varias tiradas, a que todos los caballos estén en la columna $k$, uno en cada casilla.

Nota. Un caballo se mueve de una casilla $X$ a una $Y$, solamente si $X$ y $Y$ son las esquinas opuestas de un rectángulo de $3\times 2$ o de $2 \times 3$.

Decimos que un número entero no-negativo $n$ contiene a otro número entero no-negativo $m$, si los dígitos de su expansión (o desarrollo) decimal aparecen en forma consecutiva en la expansión (o desarrollo) decimal de $n$.  Por ejemplo 2016 contiene a 2,0,1,6, 20, 16, 201 y 2016. Determina el mayor número entero $n$ que no contiene a ningún múltiplo de 7. 

Encuentra el menor número real $x$ que cumpla todas las siguientes desigualdades: 

$$ \lfloor x \rfloor < \lfloor x^2 \rfloor <  \lfloor x^3 \rfloor < \dots < \lfloor x^n \rfloor < \lfloor x^{n+1} \rfloor < \dots $$

Nota: $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual a $x$, es decir, es el único número entero que cumple que $ \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$. 

Un entero positivo $N$ es norteño si para cada dígito $d >0$, existe un divisor de $N$ cuyo último dígito es $d$. ¿Cuántos números norteños menores que 2016 hay que tengan la menor cantidad posible de divisores?

Encuentra todas las ternas de reales $(a,b,c)$ tales que $$ a- \frac{1}{b} = b - \frac{1}{c} = c - \frac{1}{a}$$