Intermedio

Sea $p_1 , p_2 , p_3 \dots$   la sucesión de números primos ordenados de menor a mayor. Si $n \geq 2$, demuestra que $p_n + p_{n+1}$ se puede expresar como el producto de al menos tres enteros mayores que 1 (no necesariamente distintos). 

Sean $a,b,c,d$ enteros positivos que satisfacen $ ab = cd$ . Muestra que $a+b+c+d$ no es un número primo.

Muestra que para todo entero positivo n, primo relativo con 10 existen infinidad de múltiplos de n cuyos dígitos son solo unos. 

Sea $I$ el incentro de un triángulo acutángulo $ABC$. La recta $AI$ corta por segunda vez al circuncírculo del triángulo $BIC$ en $E$. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$ y $J$ la reflexión de $I$ con respecto a $BC$. Muestra que los puntos $D$, $J$ y $E$ son colineales.

1. $f(1)=1$
2. Para todos $a,b$ enteros positivos, se cumple que
   $$f(a+b+ab)=a+b+f(ab)$$
.

Sea $ABC$ un triángulo y sea $H$ su ortocentro. Sea $PQ$ un segmento que pasa por $H$ con $P$ en $AB$, $Q$ en $AC$ y tal que $\angle PHB=\angle CHQ$. Finalmente en el ciruncírculo del triángulo $ABC$ considera $M$ el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$. Muestra que $MP=MQ$.

En una circunferencia se marcan 60 puntos, de los cuales 30 se colorean de rojo, 20 de azul y 10 de verde. La circunferencia queda así dividida en 60 arcos y a cada uno de ellos se les asigna un número de acuerdo a la siguiente regla:

--1 si une un punto rojo con uno verde
--2 si une un punto rojo con uno azul
--3 si une un punto azul con uno verde
--0 si une dos puntos del mismo color

¿Cuál es la mayor suma posible de los números asignados a los arcos? (Justifica tu respuesta.)

Hay siete cajas numeradas del 1 al 7 y alineadas. Tú tienes 2015 tarjetas que colocas en las cajas de una por una. La primera tarjeta la colocas en la primera caja, la segunda en la segunda, hasta llegar a la séptima carta la cual colocas en la caja 7. En ese momento empiezas a colocar las tarjetas en la otra dirección colocando la carta 8 en la caja 6, la 9 en la 5, hasta llegar a la carta 13 que colocas en la caja 1. La tarjeta 14 la colocas entonces en la caja 2, y continuas así hasta que cada tarjeta haya sido distribuida. ¿En cuál caja se coloca la última tarjeta? (Justifica tu respuesta.)