En una circunferencia Γ con centro en D se trazan dos tangentes AE y AF con E y F sobre Γ. Sean B y C puntos sobre los segmentos AE y AF respectivamente de tal manera que BC también es tangente a Γ. Sea J la intersección de BD con EF. Demuestra que el ángulo CJB es un ángulo recto.
Sugerencia
Sugerencia:
Nota que DEAF, DEBP y DFCP es ciclico, entonces demuestra que DJCF es cíclico
Solución
Solución:
Vamos a hacer una cacería y álgebra de ángulos. Nota que DE=DP=DF por ser radios. Sea <DPE=β $\Rightarrow$ <DEP=β pero por el cíclico <DBE=<DBP=β. Sea <DPF=θ $\Rightarrow$ <DFP=θ por el isósceles y <DCF=<DCP=θ por el cíclico. Entonces bastaría que DJF=θ. Nota que tanto DEBP como DFCP son papalotes (es decir, cíclicos formados por 2 isósceles uno encima de otro), entonces tanto DC como DB son bisectrices de los ángulos <PDF y <PDE respectivamente. Entonces tendríamos que <PDC=<FDC=90-θ y <PDB=<EDB=90-β. (La neta no se como insertar el dibujo, una disculpa por eso XD)
Nota que también AEDF es papalote, entonces llamaremos a <EDF=180-2α, porque así tendríamos que 180-2α=180-2β+180-2θ $\Leftrightarrow$ -2α=180-2β-2θ $\Leftrightarrow$ 2β+2θ-2α=180 $\Leftrightarrow$ β+θ-α=90 $\Leftrightarrow$ β+θ+90-α=180.
Nota que por ese papalote <BEF=90-α, entonces viendo ΔBEJ el <BJE=θ esto por el álgebra que hicimos anteriormente. Por ángulos opuestos por el vértice <BJE=<FJD=θ teniendo así a DJCF cíclico por lo que DJF=90=BJC.
