Intermedio

Sean $a,b,k$ enteros no negativos y sea $p$ un número primo positivo. Encuentra todas las cuaternas $(a,b,p,k)$ tales que $$a^2+b^2+p^2=2^k$$

 Cada número entero de la recta numérica se pinta de rojo o azul según las siguientes reglas:

• El número $1$ es rojo.
• Si $a$ y $b$ son dos números rojos, no necesariamente diferentes, entonces los números $a-b$ y $a + b$ tienen colores diferentes.

Determina el color del número $2025$.

Sea $ABCD$ un cuadrilatero cíclico y $E$ el punto de intersección de sus diagonales. La circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $BEC$ corta a la recta $AB$ en $F$ y a la recta $CD$ en $G$. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ sobre la recta $BC$ y sea $Q$ el pie de la perpendicular desde $B$ sobre la recta $AD$. Demuestra que:

$$\frac{AF}{DG}=\frac{AP}{BQ}$$

Sea $a_0, a_1, a_2, \dots$ una sucesión geométrica estrictamente creciente. Determina todos los números reales $x$ para los cuales existe $n \geq 0$ tal que:

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_1x + a_0=0$$

Nota: Una sucesión geométrica es estrictamente creciente si existe una constante $r$ tal que $a_{n+1}=a_n\cdot r$ y además $a_{n+1}>a_n$ para toda $n \geq 0$.

Los conjuntos $A, \ B, \ C$ y $D$ cumplen las siguientes condiciones:

• Sus elementos son números enteros del 1 al 20.
• Cada conjunto tiene 4 elementos y no hay un mismo número en dos o más conjuntos distintos.
• Sean $P_a, \ P_b, \ P_c, \ P_d$ los productos de los números en los conjuntos $A, B, C, D$ respectivamente, y $Q_a, Q_b, Q_c, Q_d$ el producto de los factores primos distintos de $P_a, P_b, P_c, P_d$ respectivamente. 

Se cumple que:

$$P_a \cdot P_b = P_c \cdot P_d$$ 

$$mcd(Q_a,Q_b)\cdot mcd(Q_c,Q_d) \leq 3$$

¿De cuántas maneras se pueden elegir los conjuntos?

Luna y sus amigas estan jugando con agua. Tienen $n$ garrafones vacíos de capacidad infinita y $m$ botellas llenas de agua, con $m>n$. Las botellas están ordenadas y numeradas $1, 2, \dots, m$, de la más pequeña a la más grande. La botella $i$ tarda exactamente $i$ segundos en vaciarse, para $1 \leq i \leq m$. Sus amigas van a vaciar el agua de las botellas en los garrafones siguiendo estas reglas:

Sea $p$ un número primo (positivo). El número $16p + 1$ es un cubo perfecto. ¿Cuáles son los posibles valores para $p$?

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle CAB =90 ^ {\circ}$ e incentro $I$. Las bisectrices de $\angle C$ y $\angle B$ intersecan a $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente, e intersecan a la perpendicular de $BC$ por $A$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $D$ y $N$ los puntos medios de $PE$ y $QF$ respectivamente. 

1. Demuestra que los puntos $D, \ A, \ N, \ I$ están sobre una circunferencia.
2. Demuestra que $DN$ es paralela a $BC$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y sea $M$ un punto del segmento $BC$. La recta por $M$ y perpendicular a $BC$ corta a las rectas $BH$ y $CH$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Muestra que la recta $AM$ pasa por el ortocentro del triángulo $HPQ$.

Determina todas las parejas de enteros $(a, b)$ que satisfacen:

• $5 \leq b < a$
• Existe un número natural $n$ tal que los números $\frac{a}{b}$ y $a-b$ son divisores consecutivos de $n$, en ese orden. Es decir, que no existe un divisor $d$ de $n$ tal que $\frac{a}{b} < d < a-b$