Primer Corte Semifinales OMM Tamaulipas 2025

Sean $a$ y $b$ enteros positivos y $c$ un número real positivo tal que $$\frac{a+1}{b+c}=\frac{b}{a}$$

Demuestra que $c \geq 1$.

En un círculo, se dibuja una 15-ágono regular y se forman triángulos arbitrarios conectando 3 de sus vértices. ¿Cuántos triángulos no congruentes se pueden dibujar?

Sean $a,b,k$ enteros no negativos y sea $p$ un número primo positivo. Encuentra todas las cuaternas $(a,b,p,k)$ tales que $$a^2+b^2+p^2=2^k$$

 Cada número entero de la recta numérica se pinta de rojo o azul según las siguientes reglas:

• El número $1$ es rojo.
• Si $a$ y $b$ son dos números rojos, no necesariamente diferentes, entonces los números $a-b$ y $a + b$ tienen colores diferentes.

Determina el color del número $2025$.

Sean $m,n$ enteros positivos tal que $m$ tiene $n$ dígitos. Sea $m=\overline{a_n\dots a_2a_1}$. Decimos que $m$ es $tamaulipeco$ si se cumple que $a_{n-k+1}+a_k=3$ para todo $1 \leq k \leq n$. Sea $s(m)$ la suma de los dígitos de $m$. Encuentra el menor número $tamaulipeco$ tal que $s(m)=2025$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$. Sea $D$ un punto sobre el segmento $AC$ tal que $AD = AB$. Demuestra que $\angle DBC=24^{\circ}$ sí y sólo sí $\angle ABC - \angle ACB = 48^{\circ}$.