P6. Desigualdades Tamaulipas para un número real

Enviado por Samuel Elias el 22 de Julio de 2025 - 18:32.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos y $c$ un número real positivo tal que $$\frac{a+1}{b+c}=\frac{b}{a}$$

Demuestra que $c \geq 1$.

Sugerencia

Sugerencia:

Contradice $c<1$. Pasa multiplicando denominadores y hazte los casos cuando $a \geq b$ y cuando $a<b$.

Solución

Solución:

Queremos demostrar que $a(a+1)=b(b+c)$. Si $c<1$, tenemos los siguientes 2 casos:

Si $a\geq b$, entonces $a(a+1)\geq b(b+1)>b(b+c)$.
Si $a<b$, entonces $\frac{a+1}{b+c}>1 \iff a+1>b+c \iff a>b+c-1$ pero $b+c-1>b-1\geq a$.

Por lo tanto, $c \geq 1$.