P2. Números Tamaulipecos al estilo de Gauss

Enviado por Samuel Elias el 22 de Julio de 2025 - 18:17.

Sean $m,n$ enteros positivos tal que $m$ tiene $n$ dígitos. Sea $m=\overline{a_n\dots a_2a_1}$. Decimos que $m$ es $tamaulipeco$ si se cumple que $a_{n-k+1}+a_k=3$ para todo $1 \leq k \leq n$. Sea $s(m)$ la suma de los dígitos de $m$. Encuentra el menor número $tamaulipeco$ tal que $s(m)=2025$.

Sugerencia

Sugerencia:

Utiliza el truco de Gauss con la condición de las parejas de dígitos.

Para minimizar dígitos, coloca estratégicamente el 1 y los ceros.

Solución

Solución:

Usando el truco de Gauss, nos damos cuenta que $3n = 4050 \iff n=1350$, por lo que $m$ es de 1350 dígitos. Como queremos el menor $m$, el último dígito debe ser 1, lo que implica que el primer dígito debe ser 2 (de derecha a izquierda, porque $a_1$ está a la derecha). Ahora, el 1 está seguido de 674 ceros y 674 tres`s para que siga cumpliendo la condición de ser tamaulipeco y minimizar $m$. Por lo que $$m=1000\dots 0333333\dots 332$$

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