En un círculo, se dibuja una 15-ágono regular y se forman triángulos arbitrarios conectando 3 de sus vértices. ¿Cuántos triángulos no congruentes se pueden dibujar?
Sugerencia
Sugerencia:
¿Talacha? Analiza los casos posibles de la medida de cada lado de los triángulos.
Solución
Solución:
Vamos a hacer la talacha completa de mostrar todos los triángulos únicos basándonos en la distancia de los arcos. \textbf{Nota:} Un arco tiene distancia $x$ si entre dos puntos del arco hay $x-1$ puntos contenidos en este arco. En total, hay 15 arcos.
Si un lado del triángulo tiene distancia 1, entonces los otros dos arcos deben sumar distancia 14. Es decir, queremos encontrar todos los naturales $a,b$ tales que $a+b=14$. Como el caso $(a,b)$ es igual al $(b,a)$ (porque el triángulo $(1,a,b)$ es congruente con $(1,b,a)$), sólo hay 7 casos
Si un lado del triángulo tiene distancia 2, entonces $a+b=13$, que son 5 casos porque ya contamos el 1+12.
Si un lado tiene distancia 3, $a+b=12$, 4 casos.
Si hay distancia 4, $a+b = 11$. 2 casos
Si hay distancia 5, $a+b=10$ 1 caso.
Todos los demás casos ya están incluídos en estos puntos, por lo que la respuesta es 19.
