P4. 4 números en el 4 del selectivo

Enviado por Samuel Elias el 22 de Julio de 2025 - 18:26.

Sean $a,b,k$ enteros no negativos y sea $p$ un número primo positivo. Encuentra todas las cuaternas $(a,b,p,k)$ tales que $$a^2+b^2+p^2=2^k$$

Sugerencia

Sugerencia:

Problema 4... cuaternas... Usa módulo 4 al fallo.

Solución

Solución:

Note que si $k \leq 1$, el lado izquierdo es al menos 4 mientras que el lado derecho es a lo más 2. Entonces, $k \geq 2$. Como $2^k \equiv 0 \pmod 4$, analicemos el problema en módulo 4. Son hechos conocidos:

$x^2 \equiv 0,1 \pmod 4$
$p^2 \equiv 1 \pmod 4 \ \forall \ p\geq3$

Entonces tenemos los siguientes casos:

Si $p \neq 2$, entonces $p^2 \equiv 1 \pmod 4$. Esto quiere decir que queremos que $a^2+b^2+1 \equiv 0 \pmod 4$ lo cual es imposible, ya que $1 \leq a^2+b^2+1 \leq 3 \pmod 4$.
Concluimos que $p=2$ entonces queremos que $a^2+b^2 \equiv 0 \pmod 4$, lo cual solo es posible si $a,b \equiv 0,2 \pmod 4$. Es un hecho conocido que estas dos congruencias son los número pares.

Sea $a^2=4A^2, \ b^2=4B^2$ con $A, B$ enteros no negativos. Entonces $A^2+B^2=2^{k-2}-1$. Volviendo a usar $\pmod 4$, note que:

Si $k\geq4$ entonces el lado derecho es $\equiv -1 \pmod 4$, pero el lado izquierdo es $\equiv 0,1 \pmod 4$. Entonces $k \leq 3$.
Si $k=3$, queremos que $A^2+B^2=1$. Esto solo es posible si $A$ ó $B=1$ y el otro vale 0. Entonces obtenemos las cuaternas $(2, 0, 2, 3)$ y $(0, 2, 2,3)$.
Si $k=2$, entonces $A^2+B^2=0$, y solo es posible si $A=B=0$, entonces se obtiene la cuaterna $(0,0,2,2)$.

Entonces las únicas soluciones son $(2,0,2,3), \ (0,2,2,3), \ (0,0,2,2)$.

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