Números

Para un número entero positivo $n$, sea $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$, por ejemplo $s(12)=1+2=3$. Halla todas las tripletas de enteros mayores que cero $(a, b, c)$ tales que

$$s(a+b)=c,   \  s(b+c)=a,   \  s(c+a)=b$$

Determina para cuales enteros positivos $n \geq 3$ existen $n$ números primos, no necesariamente distintos, $p_1, p_2, \dots , p_n$ tales que

$$p_1p_2+1, \ p_2p_3+1, \dots , p_{n-1}p_n+1, \ p_np_1+1$$

son todos potencias perfectas.

$Nota:$ una potencia perfecta es un número de la forma $a^k$ con $k \geq 2$ y $a, k$ enteros positivos.

Encuentra el menor entero positivo tal que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos y que es divisible entre cada uno de los números del $1$ al $9$.

Nota: Un ejemplo de un número que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos es el $2202022002$.

Sea $1=d_1<d_2<\dots<d_k=n$ todos los divisores del entero positivo $n$, donde $k\geq 5$. Determina si exsiste alguna $n$ que cumpla que $$2n=d_3^2+d_4^2+d_5^2$$

Sea $n$ un entero positivo y sea $s(n)$ la suma de sus dígitos. Decimos que $n$ es $deker$ si $2s(n)=s(2n)$. Demuestra que existen más de 2025 números $deker$ de 5 dígitos. 

Sean $a,b,k$ enteros no negativos y sea $p$ un número primo positivo. Encuentra todas las cuaternas $(a,b,p,k)$ tales que $$a^2+b^2+p^2=2^k$$

 Cada número entero de la recta numérica se pinta de rojo o azul según las siguientes reglas:

• El número $1$ es rojo.
• Si $a$ y $b$ son dos números rojos, no necesariamente diferentes, entonces los números $a-b$ y $a + b$ tienen colores diferentes.

Determina el color del número $2025$.

Sean $m,n$ enteros positivos tal que $m$ tiene $n$ dígitos. Sea $m=\overline{a_n\dots a_2a_1}$. Decimos que $m$ es $tamaulipeco$ si se cumple que $a_{n-k+1}+a_k=3$ para todo $1 \leq k \leq n$. Sea $s(m)$ la suma de los dígitos de $m$. Encuentra el menor número $tamaulipeco$ tal que $s(m)=2025$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Una función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ se llama $genial$ si

$$f(a) | b^a-f(b)^{f(a)}$$

Para todos los enteros positivos $a, b$.

Determine la menor constante real $c$ tal que $f(n) \leq cn$, para todas las funciones $geniales \ f$ y todos los enteros positivos $n$.