XXV OMM 2011
Paralelas si y sólo si paralelas (P6)
Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de radios diferentes que se cortan en los puntos $A$ y $B$. Consideremos un punto $C$ sobre la recta $AB$ de modo que $B$ queda entre $A$ y $C$.
Sean $P$ y $Q$ puntos sobre $C_1$ y $C_2$, respectivamente, tales que $CP$ es tangente a $C_1$, $CQ$ es tangente a $C_2$, $P$ no está dentro de $C_2$ y $Q$ no está dentro de $C_1$.
La recta $PQ$ corta de nuevo a $C_1$ en $R$ y a $C_2$ en $S$, ambos puntos distintos de $B$.
Supongamos que $CR$ corta de nuevo a $C_1$ en $X$ y $CS$ corta de nuevo a $C_2$ en $Y$. Sea $Z$ un punto sobre la recta $XY$.
Muestra que $SZ$ es paralela a $QX$ si y sólo si $PZ$ es paralela a $RX$.
Cudarícula de lados $(2^n - 1)$ y $(2^n + 1)$ (P5)
Una cuadrícula con lados de longitudes $(2^n - 1)$ y $(2^n + 1)$ se quiere dividir en rectángulos ajenos con lados sobre líneas de la cuadrícula y con un número de cuadraditos de $1 \times 1$ dentro del rectángulo igual a una potencia de $2$.
Encuentra la menor cantidad de rectángulos en los que se puede dividir la cuadrícula.
Nota: El $1$ es considerado una potencia de $2$ pues $2^0 = 1$.
Número de dos dígitos divisible del 1 al 9 (P4)
Encuentra el menor entero positivo tal que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos y que es divisible entre cada uno de los números del $1$ al $9$.
Nota: Un ejemplo de un número que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos es el $2202022002$.
Un sistema de ecuaciones (P3)
Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Encuentra todas las soluciones $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de números reales que satisfacen el siguiente sistema de $n$ ecuaciones:
\[ \begin{aligned} a_1^2 + a_1 - 1 &= a_2, \\ a_2^2 + a_2 - 1 &= a_3, \\ &\ \vdots \\ a_{n-1}^2 + a_{n-1} - 1 &= a_n, \\ a_n^2 + a_n - 1 &= a_1. \end{aligned} \]Una recta que pasa por el ortocentro(P2)
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con sus vértices sobre la circunferencia $\mathcal C$.
Sea $l$ la recta tangente a $\mathcal C$ en el punto $A$. La circunferencia con centro $B$ y radio $BA$ intersecta a la recta $l$ en $D$ y a la recta $AC$ en $E$. Muestra que la recta $DE$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.
Nota: El ortocentro de un triángulo es el punto donde concurren las tres alturas del triángulo.
Focos distribuidos en una circunferencia (P1)
Se tienen 25 focos distribuidos de la siguiente manera: los primeros 24 se disponen en una circunferencia colocando un foco en cada uno de los vértices de un 24-ágono regular, y el foco restante se coloca en el centro de dicha circunferencia. Se permite aplicar cualquiera de las siguientes dos operaciones:
