XVI OMM 2002

Problemas de la XVII Olimpiada Mexicana de Matemáticas de 2002.
Problema

Doblez en un rectángulo

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 08:12.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $AD$ paralelo a $BC$, los ángulos en $A$ y $B$ rectos y tal que el ángulo $CMD$ es recto, donde $M$ es el punto medio de $AB$. Sean $K$ el pie de la perpendicular a $CD$ que pasa por $M$, $P$ el punto de intersección de $AK$ con $BD$ y $Q$ el punto de intersección de $BK$ con $AC$. Demuestra que el ángulo $AKB$ es recto y que $$\frac{KP}{PA} + \frac{KQ}{QB} = 1$$
 

Problema

Ternas compatibles

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 08:04.

Tres enteros distintos forman una terna compatible si alguno de ellos, digamos $ n $, cumple que cada uno de los otros dos es, o bien divisor, o bien múltiplo de $ n $. Para cada terna compatible de números entre 1 y 2002 se calcula la suma de los tres números de la terna. ¿Cuál es la mayor suma obtenida? ¿Cuáles son las ternas en las que se obtiene la suma máxima?

Problema

Hileras de dominó --con suma impar

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 08:01.

Una ficha de dominó tiene dos números (no necesariamente diferentes) entre 0 y 6. Las fichas se pueden voltear, es decir, $[4,5]$ es la misma ficha que $[5,4]$. Se quiere formar una hilera de fichas de dominó distintas, de manera que, en cada momento de la construcción de la hilera, la suma de todos los números de las fichas puestas hasta ese momento sea impar. Las fichas se pueden agregar de la manera usual a ambos extremos de la hilera, es decir, de manera que en cualesquiera dos fichas consecutivas aparezca el mismo número en los extremos que se juntan.

Problema

Residuos cuadráticos (módulo 4)

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 07:57.

Sean $n$ un entero positivo. ¿Tiene $n^2$ más divisores positivos de la forma $4k+1$ o de la forma $4k-1$?

Problema

Circuncírculo de la mitad de un paralelogramo

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 07:48.

Sean $ABCD$ un paralelogramo y $\kappa$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABD$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de $\kappa$ con los lados (o sus prolongaciones) $BC$ y $CD$, respectivamente ($E$ distinto de $B$ y $F$ distinto de $D$). Demuestra que el circuncentro del triángulo $CEF$ está sobre $\kappa$.

Problema

Operaciones sobre cuadrícula 32X32

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 07:42.

 En una cuadrícula de $32\times32$ se escriben los números del 1 al 1024 de izquierda a derecha: los números del 1 al 32 en el primer renglón, los del 33 al 64 en el segundo, etc. La cuadrícula se divide en cuatro cuadrículas de $16\times16$ que se cambian de lugar entre ellas como sigue:

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