XIV OMM 2000

Problema

Configuración sobre un triángulo obtusángulo

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 21:27.

Sea $ABC$ un triángulo en el que $\angle{B} >90$ y en el que un punto $H$ sobre $AC$ tiene la propiedad de que $AH = BH$ y $BH$ es perpendicular a $BC$. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de $AB$ y $BC$ respectivamente. Por $H$ se traza una paralela a $AB$ que corta a $DE$ en $F$. Prueba que $\angle BCF = \angle ACD$.
 

Problema

Operación sobre rectángulos --en tablero nxn

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 21:24.

Se tiene un tablero de $n\times n$, pintado como tablero de ajedrez. Está permitido efectuar la siguiente operación en el tablero:

  • Escoger un rectángulo en la cuadrícula de tal manera que las longitudes de sus lados sean ambas pares o ambas impares, pero que no sean las dos iguales a 1 al mismo tiempo, e
  • invertir los colores de los cuadritos de ese rectángulo.

Encuentra para qué valores de $ n $ es posible lograr que todos los cuadritos queden de un mismo color después de haber efectuado la operación el número de veces que sea necesario. (Nota: Las dimensiones de los rectángulos que se escogen pueden ir cambiando).

Problema

Número de primos hasta el primer compuesto

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 21:20.

Para $a$ y $b$ enteros positivos, no divisibles entre $5$, se construye una lista de números como sigue:

  • El primer número es 5 y,
  • a partir del segundo, cada número se obtiene multiplicando el número que le precede (en la lista) por $a$, y sumándole $b$.

(Por ejemplo, si $a = 2$ y $b = 4$, entonces los primeros tres números de la
lista serán: 5, 14, 32 (pues $14 = 5\cdot2 + 4$ y $32 = 14\cdot2 + 4$.)

¿Cuál es la cantidad máxima de primos que se pueden obtener en la lista antes de obtener el primer número no primo?

Problema

Regla aditiva --de formación de un conjunto

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 21:07.

Dado un conjunto $A$ de enteros positivos, construimos el conjunto $A'$ poniendo todos los elementos de $A$ y todos los enteros positivos que se pueden obtener de la siguiente manera:

  • Se escogen algunos elementos de $A$, sin repetir, y a cada uno de esos números se le pone el signo $+$ o el signo $-$;
  • luego se suman esos números con signo, y el resultado se pone en $A'$.

Por ejemplo, si $A = {2, 8, 13, 20}$, entonces algunos elementos de $A'$ son 8 y 14 (pues 8 es elemento de $A$, y 14 = 20+2-8).

Problema

Triángulo de números --con regla simple de formación

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:59.

Se construye un triángulo como el de la figura, pero empezando con los números del 1 al 2000.

Problema

Puntos de tangencia concíclicos

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:56.

Sean $A, B, C, D$ circunferencias tales que $A$ es tangente exteriormente a $B$ en $P$, $B$ es tangente exteriormente a $C$ en $Q$, $C$ es tangente exteriormente a $D$ en $R$, y $D$ es tangente exteriormente a $A$ en $S$. Supón que $A$ y $C$ no se intersectan, ni tampoco $B$ y $D$.

  • Prueba que los puntos $P, Q, R$ y $S$ están todos sobre una circunferencia.

Supón además que $A$ y $C$ tienen radio 2, $B$ y $D$ tienen radio 3, y la distancia entre los centros de $A$ y $C$ es 6.

  • Determina el área del cuadrilátero $PQRS$.
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