V OMM 1991

Problemas de la V Olimpiada Mexicana de Matemáticas de 1991.
Problema

Triángulos en un polígono

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 10:23.

En un polígono de $ n $ lados, ($n \geq 4$) se considera una familia $T$ de triángulos, formados con los vértices del polígono, con la propiedad de que cada dos triángulos de la familia cumple alguna de las siguientes dos condiciones:
– No tienen dos vértices en común.
– Tienen dos vértices en común.
Demuestre que $T$ tiene a lo más $ n $ triángulos.
 

Problema

Suma de cuadrados cuadrado

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 10:21.

La suma de los cuadrados de dos números consecutivos puede ser un cuadrado perfecto (por ejemplo $3^2 + 4^2 = 5^2$).
a) Pruebe que la suma de los cuadrados de $m$ enteros consecutivos no puede
ser un cuadrado para $m$ igual a 3 y 6.
b) Encuentre un ejemplo de 11 números consecutivos cuya suma de cuadrados sea un cuadrado perfecto.

Problema

Ocho puntos concíclicos

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 10:17.

Considere un cuadrilátero convexo $ABCD$ en el que las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan formando ángulo recto. Sean $M, N, R$ y $S$ los puntos medios de los segmentos $AB, BC, CD$ y $AD$, respectivamente. Sean $W,X, Y$ y $Z$ las proyecciones de los puntos $M, N, R$ y $S$ sobre las rectas $DC, AD, AB$ y $BC$, respectivamente. Pruebe que todos los puntos $M, N,R, S, W, X, Y$ y $Z$ están sobre una misma circunferencia.

Problema

Cuatro canicas en una esfera

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 10:16.

Se tienen 4 canicas de radio uno colocadas en el espacio de tal manera que
cada una de ellas es tangente a las otras tres. ¿Cuál es el radio de la esfera
más pequeña que contiene a las canicas?

Problema

Soldados capicúas

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 10:13.

Una compañía de $ n $ soldados es tal que:

  • $ n $ es un número capicúa (se lee igual al derecho y al revés, como 15651, 9436349).
  • Si los soldados se forman:

--de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila;
--de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila;
--de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.

a) Hallar el menor $n$ que cumple las condiciones.

b)Demostrar que hay una infinidad de valores $ n $ que las satisfacen.

Problema

Fracciones con denominador 1991

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 10:02.

Calcule la suma de todas las fracciones positivas irreducibles (simplificadas)
menores que uno y con denominador es 1991.

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