VII OMM 1993

Problema

El siguiente del producto de 4 consecutivos

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 17:09.

Sea $f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3)+1$ y $p$ un número primo impar. Pruebe
que existe un entero $ n $ tal que $p$ divide a $f(n)$ si y sólo si existe un entero
$m$ tal que $p$ divide a $m^2 - 5$.

Problema

Intersecciones colineales de circunferencias

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 17:08.

Por un punto $O$ de una circunferencia, se tienen tres cuerdas que sirven
como diámetros de tres circunferencias. Además del punto común $O$, las
circunferencias se intersectan por parejas en otros tres puntos. Demuestre
que tales puntos son colineales.
 

Problema

Recurrencia en dos variables

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 17:05.

Para cualquier número entero $n>0$, se define:
1. $f(n, 0) = 1$ y $f(n, n) = 1$
2. $f(n, k) = f(n - 1, k - 1) + f(n - 1, k)$ para $0<k<n$.
¿Cuántos cálculos se tienen que hacer para encontrar el valor de $f(3991, 1993)$,
sin contar aquellos de la forma $f(n, 0)$ y $f(n, n)$?

Problema

La suma de los cubos de sus 3 cifras...

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 17:01.

Encuentre los números de tres cifras tales que la suma de los cubos de éstas
es igual al número.

Problema

Triángulos en los catetos

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 16:38.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $A$. Se construyen exteriormente
a este triángulo los triángulos rectángulos isósceles $AEC$ y $ADB$ con
hipotenusas $AC$ y $AB$, respectivamente. Sea $O$ el punto medio de $BC$
y sean $E'$ y $D'$ los puntos de intersección de $OE$ y $OD$ con $DB$ y $EC$
respectivamente. Calcule el área del cuadrilátero $DED'E'$ en función de
los lados del triángulo $ABC$.

Problema

Problema 3, OMM 1993

Enviado por jesus el 19 de Mayo de 2009 - 18:49.

Dentro de un pentágono de área 1993 se encuentran 995 puntos. Considere estos puntos junto con los vértices del pentágono.

Muestre que, de todos los triángulos que se pueden formar con los 1000 puntos anteriores como vértices, hay al menos uno de área menor o igual que 1.

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