Combinatoria

Sam y Hugo juegan con $n$ monedas, todas con $A$ en una cara y $S$ en la otra. Las monedas están puestas en fila sobre la mesa. Sam y Hugo se turnan. En su turno, Sam puede voltear una o más monedas, siempre que no voltee dos adyacentes; mientras Hugo elige exactamente dos monedas adyacentes y las voltea. Al comenzar el juego, todas las monedas muestran $A$. Sam juega primero y gana si todas las monedas muestran $S$ simultáneamente en cualquier momento. Halla todos los $n\geq 1$ con los que Hugo puede evitar que Sam gane.

Los números del 1 al 360 se reparten en 9 subconjuntos, de tal forma que la suma de cada subconjunto se coloca en un cuadrado de $3 \times 3$. ¿Será posible que el cuadrado de $3 \times 3$ sea un cuadrado mágico?

Sea $n$ un entero positivo y sea $s(n)$ la suma de sus dígitos. Decimos que $n$ es $deker$ si $2s(n)=s(2n)$. Demuestra que existen más de 2025 números $deker$ de 5 dígitos. 

En un círculo, se dibuja una 15-ágono regular y se forman triángulos arbitrarios conectando 3 de sus vértices. ¿Cuántos triángulos no congruentes se pueden dibujar?

 Cada número entero de la recta numérica se pinta de rojo o azul según las siguientes reglas:

• El número $1$ es rojo.
• Si $a$ y $b$ son dos números rojos, no necesariamente diferentes, entonces los números $a-b$ y $a + b$ tienen colores diferentes.

Determina el color del número $2025$.

Considere una cuadrícula de $2025 \times 2025$ cuadrados unitarios. Matilda desea colocar en la cuadrícula algunas fichas rectangulares, posiblemente de diferentes tamaños, de modo que cada lado de cada ficha se encuentre sobre una línea de la cuadrícula y cada cuadrado unitario esté cubierto como máximo por una ficha.

Determine el mínimo número de fichas que Matilda debe colocar para que cada fila y cada columna de la cuadrícula tenga exactamente un cuadrado unitario que no esté cubierto por ninguna ficha.

Alicia y Bazza juegan al $inekoalaty$, un juego para dos jugadores cuyas reglas dependen de un número real positivo $\lambda$ conocido por ambos. En el turno $n$ del juego (comenzando con $n=1$) ocurre lo siguiente:

• Si $n$ es impar, Alicia elije un número real no negativo $x_n$ tal que: $$x_1 + x_2 + \dots + x_n \leq \lambda n$$
• Si $n$ es par, Bazza elije un número real no negativo $x_n$ tal que: $$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \leq n$$

Si un jugador no puede elegir un $x_n$ adecuado, el juego termina y el otro jugador gana. Si el juego continúa indefinidamente ningún jugador gana. Ambos jugadores conocen todos los números elegidos. 

Una recta del plano se llama $soleada$ si no es paralela ni al eje $x$, ni al eje $y$, ni a la recta $x+y=0$. 

Sea $n \geq 3$ un entero dado. Determine todos los enteros no negativos $k$ para los que existen $n$ rectas distintas del plano tal que:

• Para cualesquiera enteros positivos $a$ y $b$ con $a+b \leq n+1$, el punto $(a,b)$ está en al menos una de las rectas
• Exactamente $k$ de estas $n$ rectas son soleadas

Los conjuntos $A, \ B, \ C$ y $D$ cumplen las siguientes condiciones:

• Sus elementos son números enteros del 1 al 20.
• Cada conjunto tiene 4 elementos y no hay un mismo número en dos o más conjuntos distintos.
• Sean $P_a, \ P_b, \ P_c, \ P_d$ los productos de los números en los conjuntos $A, B, C, D$ respectivamente, y $Q_a, Q_b, Q_c, Q_d$ el producto de los factores primos distintos de $P_a, P_b, P_c, P_d$ respectivamente. 

Se cumple que:

$$P_a \cdot P_b = P_c \cdot P_d$$ 

$$mcd(Q_a,Q_b)\cdot mcd(Q_c,Q_d) \leq 3$$

¿De cuántas maneras se pueden elegir los conjuntos?