Combinatoria

En la pizarra está escrito el número 2. Ana y Bruno juegan alternadamente, comenzando por Ana. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que se obtiene de aplicar exactamente una de las siguiente operaciones: multiplicarlo por 2 o multiplicarlo por 3 o sumarle 1. El primero que obtenga un resultado mayor o igual a 2011 gana. Decidir quién tiene una estrategia ganadora y describirla.

Alrededor de una mesa redonda hay 12 personas, y sobre la mesa hay 28 vasijas. Una persona puede ver a otra si y sólo si no hay ninguna vasija alineada con ellos. Demostrar que hay por lo menos dos personas que se pueden ver la una a la otra.

En un partido de biribol se enfrentan dos equipos de cuatro jugadores cada uno. Se organiza un torneo de biribol en el que participan $n$ personas, que forman equipos para cada partido (los equipos no son fijos). Al final del torneo se observó que cada dos personas disputaron exactamente un partido en equipos rivales. Determinar para qué valores de $n$ es posible organizar un torneo con tales características.

En un tablero cuadriculado de tamaño $19\times 19$, una fiha llamada dragón da saltos de la siguiente manera: se desplaza 4 casillas en una dirección paralela a uno de los lados del tablero y 1 casilla en dirección perpendicular a la anterior.

Dos equipos, $A$ y $B$, disputan el territorio limitado por una circunferencia. $A$ tiene $n$ banderas azules y $B$ tiene $n$ banderas blancas ($n\geq 2$, fijo). Juegan alternadamente y $A$ comienza el juego.

Los números $1,2,3,\ldots,n^2$ se colocan en las casillas de una cuadrícula de $n\times n$, en algún orden, un número por casilla. Una ficha se encuentra inicialmente en la casilla con el número $n^2$. En cada paso, la ficha puede avanzar a cualquiera de las casillas que comparten un lado con la casilla donde se encuentra. Primero, la ficha viaja a la casilla con el número 1, y para ello toma uno de los caminos más cortos (con menos pasos) entre la casilla con el número $n^2$ y la casilla con el número 1.

Dado un entero positivo $n$, en un plano se consideran $2n$ puntos alineados $A_1, A_2,\ldots, A_{2n}$. Cada punto se colorea de azul o rojo mediante el siguiente procedimiento:

• En el plano dado se trazan $n$ circunferencias con diámetros de extremos $A_i$ y $A_j$ , disyuntas dos a dos.
• Cada $A_k, 1\leq k\leq 2n$, pertenece exactamente a una circunferencia.
• Se colorean los puntos de modo que los dos puntos de una misma
  circunferencia lleven el mismo color.

Determine cuántas coloraciones distintas de los $2n$ puntos se pueden obtener al variar las $n$ circunferencias y la distribución de los dos colores.

 Una pulga salta sobre puntos enteros de la recta numérica. En su primer movimiento
salta desde el punto 0 y cae en el punto 1. Luego, si en un movimiento la pulga saltó desde el punto $a$ y cayó en el punto $b$, en el siguiente movimiento salta desde el punto $b$ y cae en uno de los puntos $b + (b - a) - 1, b + (b - a), b + (b - a) + 1.$

Demuestre que si la pulga ha caído dos veces sobre el punto $n$, para $n$ entero
positivo, entonces ha debido hacer al menos $t$ movimientos, donde $t$ es el menor
entero mayor o igual que $2\sqrt{n}$.

Se deben colorear casillas de un tablero de $1001\times 1001$ de acuerdo a las reglas siguientes:

• Si dos casillas tienen un lado común, entonces al menos una de ellas se debe colorear.
• De cada seis casillas consecutivas de una fila o de una columna, siempre se deben colorear al menos dos de ellas que sean adyacentes.

Determinar el número mínimo de casillas que se deben colorear.

Sea $M =\{1,2,\ldots,49\}$ el conjunto de los primeros 49 enteros positivos. Determine el máximo entero $k$ tal que el conjunto $M$ tiene un subconjunto de $k$ elementos en el que no hay 6 números consecutivos. Para ese valor máximo de $k$, halle la cantidad de subconjuntos de $M$, de $k$ elementos, que tienen la propiedad mencionada.