Elección condicionada de 3

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 07:15.
Versión para impresión
Sin votos (todavía)

¿De cuántas maneras se pueden escoger 3 números diferentes del conjunto $C=\{1,2,3,...,19,20\}$ de manera que la suma de esos tres números sea múltiplo de 3?

»
Imagen de crimeeee

No sé si está bien esta

Enviado por crimeeee el 1 de Mayo de 2012 - 21:12.

No sé si está bien esta respuesta, ya que de combinatoria no conozco prácticamente nada. Así que diganme si está bien:

Un número puede ser congruente a 0,1 o 2 módulo 3. Entonces, para que la suma de tres números sea múltiplo de 3, se distinguen 4 casos:

-Los 3 congruentes a 0 módulo 3.
-Los 3 congruentes a 1 módulo 3.
-Los 3 congruentes a 2 módulo 3.
-Uno congruente a 1,a 2 y a 3 módulo 3, es decir 3k+3k+1+3k+2=9k+3.

Entonces, múltiplos de 3 hay 6 números.
congruentes a 1 hay 7 y  7 también congruentes a 2.

Para el primer caso hay 6*5*4 maneras, es decir 120 maneras.
Para el segundo caso hay 7*6*5=210 maneras.
Para el tercero igual, 210
Para el cuarto caso hay 6*7*7 maneras, es decir 294.

Sumando todo, se pueden elegir de 834 maneras.

 

»
Imagen de jesus

Bueno, debo admitir que yo

Enviado por jesus el 1 de Mayo de 2012 - 22:26.

Bueno, debo admitir que yo por lo general también me confundo en los contéos. Sobre todo porque me cuesta trabajo inferir del enunciado qué cantidad es exactamente la que se quiere.

Pero en particular, en este enunciado creo que se refieren a calcular los subconjuntos de tres elementos de $A = \{1,2, \dots, 20\}$ con la condición dada. Yo creo que a ti te pasó lo que a mi me ha pasado muchas veces, contaste las ternas ordenadas de tres elementos $(a, b, c)$ con $a, b$ y $c$ elementos distintos de $A$.

Por ejemplo, en tu conteo estas incluyendo a $(3, 6, 9)$ y $(6, 9, 3)$ como distintas elecciones. Sin embargo,  $(3,6,9)$ y $(6, 9, 3)$ corresponden a la misma elección.

En resumen, estas contanto ternas ordenadas, y el problema no le da importancia al orden. Pero todos tus demás cálculos estan correctos.

»
Imagen de crimeeee

Muchas gracias por la

Enviado por crimeeee el 2 de Mayo de 2012 - 17:29.

Muchas gracias por la corrección, cuando tenga tiempo estudio bien las diferencias y trato de arreglar la solución. 

»
Imagen de jmd

  Hola Crimeeeee:   En

Enviado por jmd el 3 de Mayo de 2012 - 18:34.

 

Hola Crimeeeee:
 
En primer lugar, te damos las gracias por tus colaboraciones a MaTeTaM  y , sobre todo, por la calidad de ellas... Como veo que te "desamorizaste", me atrevo a responderte con la solución del problema (mi solución, que espero correcta) acompañada de una discusión, sólo para aclarar la noción de subconjunto o, mejor dicho, la elección de un subconjunto de cierto tamaño de un conjunto de tamaño k. 
 
Como dice Jesús, se trataría de elegir un subconjunto de tamaño 3 que cumpla la condición. Una vez decidido esto, lo que sigue es la división en casos como muy bien lo hiciste tú. 
 
Sólo que, la palabra subconjunto lleva el significado "oculto" --o quizá sea mejor decir, de bajísimo perfil-- de que "el orden no es importante": $\{3,8,18\}$ es el mismo que cualquiera de los siguientes $$\{3,18,8\},\{8,3,18\},\{8,18,3\},\{18,3,8\},\{18,8,3\}$$ 
 
Los casos en que divides la tarea son correctos --según creo. Los vuelvo a redactar: 
 
Los tres dejan el mismo residuo o bien éste no es el caso. De esta manera los cuatro casos son: 000,111,222,012. (Tu cuarto caso no es claro en la redacción Crimeee pero en las operaciones que haces parece que sí es el que yo veo.) 
 
Ahora bien, los subconjuntos de residuos 0,1,2 son, respectivamente: 
$$\{3,6,9,12,15,18\}\\ \{1,4,7,10,13,16,19\}\\ \{2,5,8,11,14,17,20\}$$
Así que para los primeros tres casos se trataría de elegir un subconjunto de tamaño tres de su correspondiente subconjunto según el residuo. Y, como se sabe, las formas de hacerlo son, respectivamente, $C(6,3)=20,C(7,3)=35, C(7,3)=35$. 
 
(Estos son los resultados que tú obtienes Crimeee, sólo que multiplicados por 6, es decir, el factorial de 3, pues las 6 permutaciones son equivalentes en el sentido de que representan una elección de 3 elementos --éste es el mensaje en el feedback de Jesús.)
 
En cuanto al cuarto caso, se trataría de elegir un elemento de cada uno de los subconjuntos correspondientes a los posibles residuos. Elegir uno de los de residuo cero se puede hacer de 6 formas; y para cada elección de esas, se puede elegir uno de los de residuo 1 de 7 formas; y ya elegidos esos dos elementos de residuos 0 y 1, sin importar cuáles sean, el siguiente elemento de residuo 2 se puede elegir de 7 formas. En resumen, para el cuarto caso hay $6\times7\times7=294$ formas. 
 
En total, tenemos que las formas en que se pueden elegir tres números del conjunto $\{1,2\ldots,20\}$ de manera que su suma sea múltiplo de 3 es $20+35+35+294=384$. 
 
(Espero no haber pecado de explicación excesiva... o quizá incluso de obscenidad semántica --en el sentido de mostrar demasiado--, ya contaminado por la cultura de los reality shows... El problema con este modo contemporáneo de comunicar es que, del lado de la audiencia, ésta de cualquier manera permanece indiferente sin importar qué tan perverso o qué tan obsceno sea el mensaje... por ello, quizá sea mejor mostrar solamente --al estilo de la bailarina de flamenco-- solamente el tobillo... como lo hace Jesús...)
 
Te saluda
»
Imagen de crimeeee

Muchas gracias profesor José

Enviado por crimeeee el 5 de Mayo de 2012 - 22:01.

Muchas gracias profesor José por la respuesta. Ahora entiendo bien la diferencia y lo que me quiso decir el profesor Jesús.
Respecto al último párrafo, concuerdo absolutamente con su opinión, es más, es común que en la mayoría de los libros aparezcan las soluciones "al estilo de la bailarina de flamenco", sin explicar el proceso de deducción, por lo que es necesario la ayuda del profesor, algo no tan común al menos en donde vivo, y me animo a decir en general en América Latina.
Nuevamente gracias, pero sobre todo por darme la posibilidad de incrementar mi conocimiento a través de este foro. Saludos.

»