Básico

Sean $c_1$ y $c_2$ dos cuadrados idénticos que comparten un vértice $A$. Los cuadrados no se enciman y sólo comparten el vértice $A$. Sean $B$ y $C$ los vértices en $c_1$ y $c_2$ respectivamente tales que $AB$ y $AC$ son diagonales de los cuadrados. Sea $D$ un vértice en $c_1$ y $E$ en $c_2$ tales que el segmento $ED$ no interseca al segmento $BC$. Finalmente, sea $F$ el vértice restante en $c_1$ y $G$ el de $c_2$. Demuestra que $BC = DE + FG$.

Cada cara de un cubo de $2\times 2\times 2$ se divide en $4$ casillas cuadradas (así, el cubo tiene $24$ casillas en total). Definimos un anillo como una sucesión de $8$ casillas tal que cada cara del cubo contiene $0$ o $2$ de estas casillas, y cada una de las $8$ casillas comparte un lado con la anterior y un lado con la siguiente, formando un lazo cerrado alrededor del cubo (hay $6$ anillos).

Encuentra el menor entero positivo $n$ que tienen al menos cuatro divisores positivos, tales que si $d_1 < d_2 < d_3 < d_4$ son sus cuatro divisores positivos más pequeños, se cumple la relación:$$n = d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2$$

 Encuentra todas las ternas de números primos $p, \ q, \ r$ tales que $$p^2+q^2=r^2$$

Sea $ABCD$ un cuadrado. Sea $E$ un punto en el plano fuera de $ABCD$ de tal forma que el triángulo $AEB$ es equilatero. Los segmentos $AB$ y $EC$ se cortan en $P$. Calcula la medida de los ángulos $\angle APC$ y $\angle CEB$ para demostrar que $$\frac{\angle APC}{\angle CEB} = 7 $$

Observe la siguiente figura. Sea $ABC$ un triángulo. Sea $D$ un punto en el plano opuesto a $B$ tal que el triángulo $ ADC$ es equilátero. Sean $E,F$ puntos en el plano opuestos a $C$ tales que $AEFB$ es un cuadrado. Suponiendo que $E,A,C$ son colineales y $A$ es el punto medio de $EC$, encuentra el valor del ángulo $\angle EDA$. Posteriormente, justifica intuitivamente por qué es posible trazar una circunferencia que pase por los puntos $B, C, D, E$.

Ana está pensando en un número primo $p$ que satisface la siguiente propiedad: $p-10,p$ y $p+10$ son números primos. Encuentra todos los posibles números en los que está pensando Ana.