Estatal OMM Tamaulipas 2025

Sea $p$ un número primo (positivo). El número $16p + 1$ es un cubo perfecto. ¿Cuáles son los posibles valores para $p$?

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle CAB =90 ^ {\circ}$ e incentro $I$. Las bisectrices de $\angle C$ y $\angle B$ intersecan a $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente, e intersecan a la perpendicular de $BC$ por $A$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $D$ y $N$ los puntos medios de $PE$ y $QF$ respectivamente. 

1. Demuestra que los puntos $D, \ A, \ N, \ I$ están sobre una circunferencia.
2. Demuestra que $DN$ es paralela a $BC$

Samuel tiene un cajero mágico que funciona de la siguiente manera: él ingresa una cantidad $x$ de dinero, siendo $x$ un entero positivo, y presiona un botón que le da el doble de la cantidad de dinero que hay (mas lo que ya tenía). Por ejemplo, si Samuel inserta 1 peso y presiona el botón, la máquina le dará 2 pesos, por lo que ahora tiene 3 pesos. Si presiona el botón una segunda vez, la máquina le devolverá 6 pesos. Y así sucesivamente. Si Samuel presiona el botón $n$ veces, cuánto dinero, en términos de $x$, tendrá en total?

¿De cuántas formas puedo ordenar las letras de "$tralalerotralala$" de tal forma que las letras de "$tra$" respeten su orden? Ejemplo, $tratralalerolala$ es válido, pero $tralalerotarlala$ no lo es.