2. Perpendicular a un lado con dos circunferencias.

Enviado por Samuel Elias el 4 de Octubre de 2025 - 16:51.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ y $\Gamma$ el círculo que pasa por los 3 vértices de $ABC$. Sea $\omega$ la circunferencia de radio $AB$ con centro $A$. $\omega$ corta a $\Gamma$ en $F \neq B$. Sea $G$ la segunda intersección de $CF$ con $\omega$ tal que $G \neq F$. Demuestra que $AC$ es perpendicular a $BG$.

Sugerencia

Sugerencia:

Usando ángulo central e inscrito, caza angulitos. La congruencia de triángulos podría ayudarte.

Solución

Solución:

Note que $\angle BFC = \angle BAC$; $\angle ABF = \angle AFB = \angle BCA = \angle ACF$. Por $\triangle ABC$, tenemos que $\angle BAC + \angle ABF + \angle FBC + \angle ACB = 180^\circ$, entonces como $\angle ABC = \angle ABF + \angle FBC = \angle ADB \implies \angle ADC = \angle ABF + \angle BAC = \angle AFC$. Entonces $\triangle ADC \cong \triangle AFC$, teniendo así que $ADCF$ es un papalote, por lo que $DF \perp AC$.

Ahora, $\angle BDF = \angle BDA + \angle ADF = \angle AFG + \angle AFD = \angle GFD$, lo que quiere decir que $BGFD$ es un trapecio isósosceles (es fácil ver que también $\angle DBG = \angle FGB$), entonces $BG \parallel DF \implies BG \perp AC$.

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