Sea ABC un triángulo rectángulo con ángulo recto en B. Sean D el pie de la altura desde B, E el punto medio de CD y F un punto sobre la recta por A y B de manera que BA=AF. Muestra que las rectas BE y FD son perpendiculares.
Sea ABC un triángulo rectángulo con ángulo recto en B. Sean D el pie de la altura desde B, E el punto medio de CD y F un punto sobre la recta por A y B de manera que BA=AF. Muestra que las rectas BE y FD son perpendiculares.
Bueno, prosedere a "intentar
Bueno, prosedere a "intentar resolverle", ya que de la ONMAS 2010, este fue el problema que mas llamo mi atencion. E aqui mi solucion.
1) Primero que nada, es facil ver que los triangulos BDF y CEB son semejantes. Si no me cren aqui va la pruba de ello:
Trazemos la paralela por E a BD, hasta que corte a BC en J, es claro que J es punto medio de BC, Por otro lado CEJ es semejante a CDB, que a su vez semejante con BDA. Por lo tanto, CEJ y BDA son semejantes y como AF=BA y CJ=JB, la semejanza que escribi al inicio esta muy clara.
2)Ya sabiendo que BDF y CEB son semejantes, el problema esta resuelto.
Sea K la interseccion de BE con FD, observemos entonces el triangulo BFK, de ahi es facil la siguiente relacion de igualdades.
∠BFK+∠KBF=∠CBE+∠KBF=90°
y por que son perpendiculares ya esta obio suma de angulos internos a BKF
Estaba facil no???, por cierto profe Muñoz, los triangulos de la primera semejanza, son los que se vi con la rotacion. saludos!!!
Gracias Brandon. La verdad es
Gracias Brandon. La verdad es que no es fácil de ver esa semejanza. Bueno, se puede sospechar pero la demostración se me negó anoche que lo estuve intentando. Lo voy a pasar a a sección solución.
Te saluda
magia :) gracias por
magia :) gracias por compartir tu solucion :)