Ecuación de suma de fracciones

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Si $a$ y $b$ son enteros distintos entre sí y diferentes de cero que cumplen $\frac{a-2010}{b}+\frac{b+2010}{a}=2$ ¿cuál es el valor de $a-b$?
 



Imagen de Scharbil Saleh

Del enunciado:

Del enunciado: (a-2010)/b+(b+2010)/a=2 tal que a desigual de b ^ a desigual de 0 ^ b desigual de 0.

Suma de fraciones
(a^2-a2010+b^2+b2010)/ba=2
Multiplicando a ambos lados de la igualdad por "ba".
(a^2-a2010+b^2+b2010)=2ba
Factor comun 2010
a^2+(b-a)2010+b^2=2ba
sumamos y restamos a ambos lados de la igualdad -2ba ^ -2010(b-a)
a^2+b^2-2ba=-(b-a)2010
producto notable
(b-a)^2=-(b-a)2010
división a ambos lados de la igualdad por el factor (b-a)
b-a=-2010
del que se traduce que b=-2010-a quedando así uno en función del otro.

Curiosidad
(b-a)^2=-(b-a)2010
Al dividir a ambos lados de la igualdad por el factor (b-a) podemos hacer igualdad de términos de el denominador 1=(b-a)
y de los numeradores (b-a)^2=-2010 el cual se puede simplificar en (b-a)=(-2010)^(1/2)
generando así una igualdad donde 1=(-2010)^(1/2)?

Imagen de jmd

Hola Scarbil, bienvenido a

Hola Scarbil, bienvenido a MaTeTaM:

Identificas las operaciones que debes hacer y las ejecutas correctamente...  y muy bien reconocido el binomio cuadrado. Y das la respuesta correcta. Sigue así campeón.

Respecto a tu pregunta la respuesta es NO. Quizá te convenza esto:  6/12=3/6, pero 6 es distinto de 3 y 12 de 6. En general no es válido la igualación que propones, salvo en casos especiales que después aprenderás...

Te saluda

Imagen de masterx07

Desarrollas la ecuación,

Desarrollas la ecuación, teniendo en cuenta la expresión que te dará un binomio al cuadrado, despejas las variables, simplificando "a - b" y finalmente la respuesta es 2010. Cualquier consulta me respondes a este mensaje.
Imagen de Paola Ramírez

Tenemos

Tenemos que: $\frac{a-2010}{b}+\frac{b+2010}{a}=2$ entonces sumamos par dejar con mismo denominador y queda $\frac{a^{2}-2010a+b^{2}+2010b}{ab}=2$ despejamos y queda $a^{2}-2010a+b^{2}+2010b=2ab$ entonces $a^{2}-2ab+b^{2}=2010a-2010b$ y factorizamos y $(a-b)^{2}=2010(a-b)$ y finalmente $a-b=2010$
Imagen de jmd

Me da mucho gusto tu

Me da mucho gusto tu comentario Paola. Por dos cosas: tu excelente dominio del álgebra y tu impecable redacción (adicionada con latex).
 
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Te saluda
Imagen de jesus

Hay un error que todos han

Hay un error que todos han cometido en su solución.

  1. Verifiquen que cuando $a=b=1$ se satisface la ecuación
    $$\frac{a-2010}{b}+\frac{b+2010}{a}=2$$
     
  2. Entonces $a -b = 1 - 1 = 0$. ¿Que no debía ser $a - b =2010$?

 

Imagen de cuauhtemoc

Me parece que es porque en el

Me parece que es porque en el problema dice que a,b son enteros distintos entre sí.

Imagen de cuauhtemoc

Me parece que es porque en el

Me parece que es porque en el problema dice que a,b son enteros distintos entre sí.

Imagen de jesus

cierto cuahutemoc, no puse

cierto cuahutemoc, no puse atención al enunciado. Pero hubiera sido una buena experiencia si no dijera eso el enunciado. Ni modo, la emoción de tener la oportunidad me distrajo.

Saludos